Examens corriges

Correction Contrôle Continu : Optimisation et Simplexe

Présentation du document

Ce document propose la correction détaillée d'un contrôle continu d'optimisation linéaire destiné aux étudiants de deuxième année de GEA (Gestion des Entreprises et des Administrations) à l'IUT Dijon-Auxerre pour l'année universitaire 2015-2016. Rédigé en français, ce support pédagogique s'adresse directement aux étudiants souhaitant approfondir leur compréhension de la programmation linéaire, de la mise sous forme standard, de la méthode des deux phases du simplexe et de l'interprétation économique des résultats.

Structure et contenu des exercices

Le document se compose de deux exercices principaux abordant à la fois les aspects algorithmiques de l'optimisation et leur modélisation concrète dans un contexte de gestion de production.

Exercice 1 : Résolution par la méthode du simplexe en deux phases

Le premier exercice s'articule autour d'un problème d'optimisation linéaire avec des contraintes d'inégalité de types divers, nécessitant l'utilisation de variables d'écart et d'une variable artificielle. La correction détaille l'ensemble des étapes méthodologiques :

  • La formulation de la forme standard du problème initial à l'aide de variables d'écart positives.
  • L'introduction d'une variable artificielle pour amorcer la résolution lorsque le choix d'une base évidente est impossible.
  • La mise en place de la Phase I à l'aide des tableaux du simplexe pour minimiser l'objectif artificiel et atteindre une solution réalisable.
  • La transition vers la Phase II par la suppression des variables artificielles pour maximiser la fonction économique originale.
  • Les itérations successives avec les tableaux de Gauss-Jordan jusqu'à l'obtention de la solution optimale en nombres réels.

Exercice 2 : Modélisation et application économique

Le second exercice propose une mise en situation concrète dans une entreprise de fabrication d'instruments de musique, plus précisément des cors d'harmonie et des cors naturels. Les étudiants sont guidés pas à pas dans la construction du modèle mathématique :

  • La définition des variables de décision représentant les quantités produites de chaque instrument par mois.
  • La formalisation des contraintes de production liées aux ressources disponibles, telles que les systèmes de palettes, les branches d'embouchure, les soudures et les contrats de distribution.
  • L'expression de la fonction objectif visant à maximiser la marge mensuelle brute en centaines d'euros.
  • L'analyse de la solution optimale en lien avec le premier exercice, en observant l'impact d'une contrainte non saturée sur la décision finale du gestionnaire.

Intérêt pédagogique et méthode de travail

Ce corrigé constitue un outil de travail direct pour s'entraîner aux examens d'optimisation linéaire. Il met en évidence la rigueur nécessaire dans la manipulation des tableaux du simplexe, le choix des variables entrantes et sortantes, ainsi que l'interprétation économique des résultats obtenus. Pour tirer pleinement profit de ce document, il est conseillé de refaire les calculs matriciels et de s'exercer à poser les modèles de programmation linéaire à partir d'énoncés textuels avant de consulter les solutions proposées.

Questions fréquentes

Quel est le niveau académique concerné par ce document ?

Ce document s'adresse aux étudiants en deuxième année de DUT GEA (Gestion des Entreprises et des Administrations), plus particulièrement dans le parcours Gestion Mangement et Organisation (GMO).

Quelle méthode de résolution est principalement détaillée dans l'exercice 1 ?

L'exercice détaille la méthode du simplexe en deux phases, incluant l'utilisation de variables d'écart, d'une variable artificielle et l'application des opérations de pivot de Gauss-Jordan dans les tableaux successifs.

Quel est le contexte de l'application pratique présentée dans l'exercice 2 ?

L'exercice 2 modélise la production mensuelle de cors d'harmonie et de cors naturels par un facteur d'instruments, en tenant compte des contraintes de fabrication, de soudure et de distribution pour maximiser la marge brute.

Testez vos connaissances

Question 1

Quelle est la finalité de la Phase I dans l'algorithme du simplexe présenté dans le document ?

  1. Maximiser directement la fonction économique finale z
  2. Trouver une solution de base réalisable ou détecter l'impossibilité à l'aide d'une variable artificielle
  3. Calculer les marges bénéficiaires de l'entreprise de musique
  4. Supprimer toutes les variables d'écart du modèle

Réponse correcte : Trouver une solution de base réalisable ou détecter l'impossibilité à l'aide d'une variable artificielle

Explication : La Phase I utilise un objectif artificiel (minimisation de zA) pour éliminer la variable artificielle et atteindre un sommet admissible pour le problème standard.

Question 2

Dans l'exercice 2, que représentent les variables x1 et x2 ?

  1. Le nombre d'heures de travail par mois
  2. Le coût total de production en centaines d'euros
  3. Le nombre d'instruments C1 et C2 produits en un mois
  4. La quantité de palettes et de soudures disponibles

Réponse correcte : Le nombre d'instruments C1 et C2 produits en un mois

Explication : La définition des variables au début de l'exercice 2 indique clairement que pour i = 1, 2, xi note le nombre d'instruments Ci produits en un mois.





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