Examens corriges

Correction d'épreuve de mathématiques en classe de PT

Présentation de l'épreuve de mathématiques

Ce document propose la correction détaillée d'une épreuve de mathématiques destinée aux étudiants en classe de préparation scientifique, plus précisément en classe de PT (Physique et Technologie). Datée du jeudi 16 janvier 2014 et émanant du lycée La Prat's, cette correction aborde des notions fondamentales d'algèbre linéaire, de calcul matriciel, de fonctions d'une variable réelle et de calcul intégral.

L'ensemble des exercices est rédigé de manière rigoureuse, offrant aux élèves une vue d'ensemble des méthodes de résolution attendues dans ce type d'évaluation. Les démonstrations y sont explicitées pas à pas, ce qui permet de comprendre l'enchaînement des raisonnements mathématiques.

Structure et analyse des exercices

Le document se compose de trois exercices principaux, chacun explorant des thématiques spécifiques du programme des classes préparatoires :

Exercice 1 : Matrices circulantes et théorème de Cayley-Hamilton

L'exercice débute par l'étude d'une matrice circulante notée $U$ et l'analyse de ses propriétés de diagonalisation. Il est démontré que les racines $n$-ièmes de l'unité permettent de construire une base de vecteurs propres, assurant ainsi la diagonalisabilité de l'endomorphisme associé. La seconde partie de cet exercice est consacrée à une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton, en s'appuyant sur les propriétés des matrices triangulaires supérieures et les polynômes caractéristiques.

Exercice 2 : Formule de Moivre et intégrales généralisées

Le second exercice s'articule autour d'une application de la formule de Moivre pour établir une relation trigonométrique liant $\sin(3x)$ à $\sin(x)$. La suite de l'exercice étudie le prolongement par continuité d'une fonction, sa dérivabilité et la nature de plusieurs intégrales généralisées. Des techniques de changement de variable et de majoration y sont mobilisées pour étudier la convergence et calculer des valeurs d'intégrales.

Exercice 3 : Dérivation sous le signe somme et équations différentielles

Le troisième exercice introduit une fonction définie par une intégrale dépendante d'un paramètre. L'application du théorème de Leibniz permet d'établir la régularité de cette fonction et d'obtenir des expressions pour ses dérivées successives. Ces résultats conduisent à la mise en place d'une équation différentielle du second ordre que vérifie la fonction étudiée, complétée par des techniques d'intégration par parties pour encadrer ou évaluer certaines expressions.

Méthodes de travail recommandées

Ce type de document corrigé constitue un support de travail exigeant. Pour en tirer le meilleur parti, il est conseillé de chercher les exercices par soi-même avant de consulter les solutions rédigées. La confrontation entre sa propre démarche et la correction officielle permet d'identifier les points de blocage, qu'il s'agisse d'un manque de rigueur dans la rédaction, d'une erreur de calcul ou d'une mauvaise utilisation d'un théorème du cours.

L'attention doit être portée sur la manière d'introduire les hypothèses des théorèmes (comme le théorème de Leibniz ou les propriétés de diagonalisation), car la rigueur formelle est un critère déterminant dans les copies de concours.

Questions fréquentes

Quel est le niveau visé par ce document ?

Ce document s'adresse aux élèves inscrits en classe préparatoire aux grandes écoles, spécifiquement en classe de PT (Physique et Technologie).

Quels grands thèmes du programme sont abordés ?

Les principaux thèmes couverts sont l'algèbre linéaire (matrices circulantes, diagonalisation, théorème de Cayley-Hamilton), l'analyse (développements limités, prolongement par continuité, intégrales généralisées) et le calcul différentiel (dérivation sous le signe somme et équations différentielles).

D'où proviennent les exercices de ce sujet ?

L'exercice 1 est issu d'un sujet de concours (Centrale TSI 2013) et l'exercice 2 s'inspire d'un sujet E3A PC de 2010.

Testez vos connaissances

Question 1

Quelle est la nature de la matrice $U$ étudiée dans la première partie de l'exercice 1 ?

  1. Une matrice symétrique
  2. Une matrice circulante
  3. Une matrice antisymétrique
  4. Une matrice diagonale

Réponse correcte : Une matrice circulante

Explication : L'énoncé indique explicitement dès la première question que $U$ est une matrice circulante définie par ses coefficients $u_{ij}$.

Question 2

Quel théorème est appliqué dans la deuxième partie de l'exercice 1 pour démontrer l'annulation du polynôme caractéristique en la matrice ?

  1. Le théorème des accroissements finis
  2. Le théorème de Cayley-Hamilton
  3. Le théorème de la limite centrale
  4. Le théorème de Rolle

Réponse correcte : Le théorème de Cayley-Hamilton

Explication : La partie 2 de l'exercice 1 est expressément intitulée « Théorème de Cayley-Hamilton » et vise à démontrer que $\chi_A(A) = 0$.

Question 3

Quel outil mathématique est mobilisé au début de l'exercice 2 pour exprimer $\sin(3x)$ en fonction de $\sin(x)$ ?

  1. La formule de Moivre
  2. Le théorème de Leibniz
  3. L'intégration par parties
  4. La formule de Taylor-Young

Réponse correcte : La formule de Moivre

Explication : La question 1) a) de l'exercice 2 indique clairement qu'il faut utiliser la formule de Moivre pour développer l'expression et identifier les parties imaginaires.





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