Correction d'examen de Méthodes Numériques : L2 Maths

Présentation du document

Ce document présente le corrigé de l'examen terminal de l'unité d'enseignement de Méthodes Numériques, destiné aux étudiants en deuxième année de licence de mathématiques (L2 Maths) à la Faculté des sciences et ingénierie de l'Université Toulouse III, pour l'année universitaire 2017-2018. Rédigé sous forme de correction détaillée, il permet de comprendre les méthodes de résolution attendues pour chaque exercice proposé lors de cette évaluation.

Thèmes et exercices abordés

Le sujet s'articule autour de plusieurs notions fondamentales d'analyse numérique, réparties en cinq exercices distincts. Les étudiants y retrouvent des applications directes de cours ainsi que des exercices plus techniques nécessitant une maîtrise approfondie des concepts.

L'exercice 1 est consacré aux questions de cours et d'application directe. Il demande de compléter un tableau de différences divisées, d'établir le polynôme d'interpolation de Lagrange correspondant dans les bases de Newton, puis de le recalculer par une autre méthode factorisée. Il aborde également la méthode d'intégration numérique de Simpson sur un intervalle, en précisant son degré d'exactitude.

L'exercice 2 étudie l'interpolation de Lagrange à partir de nœuds spécifiques comportant des paramètres réels alpha et bêta. Il s'intéresse au degré du polynôme obtenu selon les valeurs de ces paramètres et à sa parité.

L'exercice 3 approfondit l'interpolation de Lagrange associée aux nœuds zéro, epsilon et un pour une fonction régulière. Le corrigé détaille le calcul du polynôme d'interpolation, l'estimation de l'erreur d'approximation à l'aide d'un théorème du cours, le passage à la limite lorsque epsilon tend vers zéro, ainsi que des démonstrations d'unicité et des majorations d'erreurs globales.

L'exercice 4 aborde le calcul approché d'intégrales à travers une fonction logarithmique. Il propose de calculer une intégrale indéfinie, de déterminer des coefficients pour qu'une formule d'intégration numérique soit exacte pour des polynômes de degré inférieur ou égal à deux, et d'appliquer cette méthode pour obtenir une valeur approchée.

Enfin, l'exercice 5 s'intéresse à une méthode d'intégration numérique sur un intervalle de référence paramétrée par un réel oméga. Les questions portent sur l'exactitude pour les polynômes, la détermination optimale du paramètre, l'ordre de la méthode, l'extension à une subdivision uniforme via un changement de variable, la formulation composite par la relation de Chasles, et l'estimation de l'erreur composite en fonction du pas.

Utilisation pour les révisions

Ce corrigé constitue un support de travail adapté pour les étudiants souhaitant s'entraîner aux examens de méthodes numériques. En comparant leurs propres résultats avec les étapes de calcul détaillées, ils peuvent identifier leurs points de blocage, qu'il s'agisse de la manipulation des polynômes d'interpolation de Newton et de Lagrange, de l'analyse des erreurs d'approximation, ou de la construction de méthodes d'intégration composite.

Questions fréquentes

À quel niveau d'études ce sujet est-il destiné ?

Ce document s'adresse aux étudiants en deuxième année de licence de mathématiques (L2 Maths).

Quels sont les grands thèmes évalués dans cet examen ?

Les principaux thèmes sont l'interpolation de Lagrange, les différences divisées, l'estimation des erreurs d'approximation et les méthodes d'intégration numérique comme la formule de Simpson et les méthodes composites.

Quelle université a délivré ce sujet d'examen ?

Ce sujet provient de la Faculté des sciences et ingénierie de l'Université Toulouse III (Département de mathématiques) pour l'année universitaire 2017-2018.

Testez vos connaissances

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