Corrigé d'examen de géométrie affine et projective 2016
Introduction à l'examen de géométrie affine et projective
Ce document propose le corrigé détaillé d'une épreuve d'examen de deuxième session en date du 20 mai 2016, d'une durée de trois heures. Destiné aux étudiants en mathématiques suivant l'enseignement de géométrie, ce sujet permet d'aborder des notions avancées en géométrie projective et en analyse fonctionnelle à travers des exercices progressifs et rigoureux.
Structure et contenu des exercices
L'épreuve est constituée de trois exercices indépendants mais complémentaires, abordant des thématiques variées allant de la géométrie projective plane à l'étude des normes associées à des convexes compacts dans les espaces vectoriels normés.
Exercice 1 : Configurations projectives et théorème de Pappus
Le premier exercice, noté sur 44 points, s'articule autour de la configuration de Pappus dans le plan projectif. À partir de deux droites distinctes sécantes et de points distincts situés sur ces droites, l'énoncé conduit l'étudiant à construire divers points de concours, à manipuler des coordonnées homogènes dans une base bien choisie, et à établir des équations de droites projectives. Les questions successives démontrent l'alignement de points spécifiques à l'aide de calculs de déterminants et examinent l'action d'homographies, notamment à travers des projections et la conservation de birapports.
Exercice 2 : Produit vectoriel dans un espace de dimension 4 et quadriques
Le deuxième exercice, d'une valeur de 36 points, introduit une structure algébrique originale en définissant un produit vectoriel entre des vecteurs de dimension 4, dont les coordonnées s'expriment par des mineurs 2x2. L'application ainsi définie permet de relier les paires de vecteurs aux droites projectives et d'étudier l'injection de l'ensemble des droites projectives dans l'espace projectif de dimension 6. Les questions mènent à l'identification d'une quadrique projective associée à une forme quadratique précise, démontrant les liens étroits entre algèbre bilinéaire et géométrie projective.
Exercice 3 : Convexes compacts et normes associées dans un espace euclidien
Le troisième exercice, noté sur 40 points, quitte le cadre projectif pour s'intéresser à l'analyse dans l'espace euclidien de dimension n. En partant d'un convexe compact contenant l'origine dans son intérieur et stable par symétrie centrale, l'étude montre comment définir rigoureusement une norme à partir de la borne d'un intervalle de colinéarité. L'application est ensuite développée dans le plan pour un cas particulier combinant un carré fermé et un disque, permettant d'expliciter graphiquement et analytiquement une norme non standard.
Utilisation recommandée pour les révisions
Ce corrigé constitue un support de travail précieux pour s'entraîner aux examens universitaires de mathématiques. Il est conseillé de chercher les exercices par soi-même avant de consulter les solutions rédigées, afin d'assimiler les méthodes de calcul sous forme de coordonnées homogènes, de manipulation de déterminants et de manipulation d'ensembles convexes. La clarté des démonstrations aide à comprendre les attentes de rédaction pour ce niveau d'études.
Informations pratiques sur le document
- Établissement : UPMC (Université Pierre et Marie Curie)
- Matière : Géométrie affine et projective (code 4M001)
- Session : Deuxième session du 20 mai 2016
- Durée de l'épreuve : 3 heures
- Format : Corrigé détaillé d'examen comportant des figures explicatives
Questions fréquentes
Quel est le niveau d'études visé par ce sujet ?
Ce document s'adresse aux étudiants universitaires en mathématiques de niveau licence ou première année de master, inscrits dans un module de géométrie avancée et d'analyse.
Quels grands théorèmes géométriques sont mobilisés dans l'exercice 1 ?
L'exercice repose principalement sur l'utilisation du théorème de Pappus, la manipulation de repères projectifs, l'écriture d'équations de droites par annulation de déterminants et l'étude des homographies préservant les birapports.
Comment est définie la norme dans l'exercice 3 ?
La norme est construite à partir de la fonction jauge associée à un convexe compact symétrique contenant l'origine. L'inverse de la borne supérieure de l'intervalle où les multiples scalaires du vecteur appartiennent au convexe définit directement la valeur de la norme.
Testez vos connaissances
Question 1
Dans l'exercice 1, quel théorème assure l'alignement des points X, Y et T ?
- Le théorème de Thalès
- Le théorème de Pappus
- Le théorème de Pascal
- Le théorème de Desargues
Réponse correcte : Le théorème de Pappus
Explication : Le corrigé mentionne explicitement que l'alignement des points X, Y et T découle du théorème de Pappus.
Question 2
Dans l'exercice 2, comment sont formées les coordonnées de x ∧ y pour des vecteurs de dimension 4 ?
- Par les sommes des composantes
- Par les produits scalaires partiels
- Par les mineurs 2x2 de la matrice formée par x et y
- Par les dérivées partielles des coordonnées
Réponse correcte : Par les mineurs 2x2 de la matrice formée par x et y
Explication : L'énoncé précise que le produit x ∧ y est composé des mineurs 2x2 pris dans l'ordre lexicographique dans la matrice à 4 lignes et 2 colonnes.
Question 3
Dans l'exercice 3, quelles sont les propriétés géométriques requises pour le convexe C ?
- Il doit être non borné et ouvert
- Il doit être compact, contenir 0 dans son intérieur et être stable par l'application opposée x ↦ -x
- Il doit être réduit à un simple disque unité euclidien
- Il doit être un sous-espace vectoriel strict
Réponse correcte : Il doit être compact, contenir 0 dans son intérieur et être stable par l'application opposée x ↦ -x
Explication : L'énoncé définit C comme un convexe compact de R^n contenant 0 dans son intérieur et stable par symétrie centrale par rapport à l'origine.
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