Examens corriges

Corrigé d'exercices de mécanique quantique : puits carré et oscillateur harmonique

Introduction au document

Ce document académique propose un corrigé détaillé d'exercices de mécanique quantique, rédigé pour les étudiants de l'École polytechnique de Bruxelles dans le cadre du cours PHYSH301 pour l'année académique 2016-2017. L'objectif principal de ce support est d'accompagner l'apprentissage des étudiants à travers la résolution rigoureuse de problèmes fondamentaux portant sur les états liés.

Structure et thématiques principales

Le document s'articule autour de deux grandes parties distinctes. La première partie se consacre entièrement aux états liés dans un puits carré, abordant d'abord le cas unidimensionnel infini avant d'élargir l'analyse au cas tridimensionnel, ainsi qu'au puits carré fini. La seconde partie aborde l'oscillateur harmonique à trois dimensions, un sujet directement lié au contenu du cours.

Pour chaque exercice, la correction ne se limite pas à donner le résultat final : elle détaille chaque étape du raisonnement mathématique et physique. Cela inclut la mise en place de l'équation de Schrödinger indépendante du temps, l'application des conditions aux limites et de continuité, la normalisation des fonctions d'onde, ainsi que la quantification des énergies.

Étude des puits carrés et de l'oscillateur harmonique

Dans la section consacrée au puits carré infini en une dimension, le document montre comment l'annulation de la fonction d'onde aux frontières conduit à l'apparition de fonctions sinusoïdales et à la quantification du nombre d'onde. Le passage en trois dimensions introduit la séparation des variables en coordonnées cartésiennes et la notion de dégénérescence des niveaux d'énergie. Le calcul du nombre d'états quantiques à l'aide de l'espace des phases et de l'espace des impulsions est également détaillé, établissant un pont avec la physique statistique et le comportement des fermions.

L'étude du puits carré fini en trois dimensions en coordonnées sphériques met en œuvre le laplacien en coordonnées sphériques, les harmoniques sphériques et l'équation radiale. La résolution de l'équation transcendantale permet de déterminer le nombre d'états liés et d'analyser la probabilité de présence d'une particule à l'extérieur du puits. Une application physique concrète modélise l'interaction nucléaire forte entre un proton et un neutron.

La dernière partie du document traite de l'oscillateur harmonique tridimensionnel. Après l'écriture de l'équation de Schrödinger et un changement d'unités, la méthode de Frobenius est employée pour résoudre l'équation radiale. L'analyse du comportement asymptotique et la condition de troncature de la série entière fournissent les valeurs propres de l'énergie. Enfin, une application numérique permet d'estimer les énergies accessibles et la longueur d'onde d'un photon émis dans un nanocristal d'arséniure de gallium (GaAs).

Utilisation recommandée pour les révisions

Ce corrigé constitue un support de travail adapté pour s'entraîner à la résolution analytique de problèmes en mécanique quantique. Il est conseillé de chercher les exercices de manière autonome avant de consulter les étapes de calcul proposées, notamment pour maîtriser l'utilisation des conditions aux limites et l'intégration des fonctions radiales.

Questions fréquentes

À quel niveau d'études ce document s'adresse-t-il ?

Ce document est destiné aux étudiants en ingénierie ou en sciences suivant un cours universitaire de mécanique quantique de niveau bachelor ou master, tel que dispensé à l'École polytechnique de Bruxelles.

Quels sont les principaux systèmes physiques étudiés ?

Le document étudie principalement le puits carré infini (en une et trois dimensions), le puits carré fini en trois dimensions, ainsi que l'oscillateur harmonique tridimensionnel.

Quels concepts mathématiques et physiques sont mobilisés dans ces corrections ?

Les résolutions font appel à l'équation de Schrödinger stationnaire, au calcul différentiel, à la séparation des variables, aux harmoniques sphériques, aux polynômes de Laguerre généralisés, ainsi qu'à la normalisation des fonctions d'onde et à la quantification de l'énergie.

Testez vos connaissances

Question 1

Quelle est la condition limite imposée à la fonction d'onde à l'intérieur d'un puits carré infini unidimensionnel de largeur L aux points x = 0 et x = L ?

  1. La fonction d'onde doit y être maximale.
  2. La fonction d'onde doit y être nulle.
  3. La dérivée de la fonction d'onde doit y être nulle.
  4. La fonction d'onde doit y valoir 1.

Réponse correcte : La fonction d'onde doit y être nulle.

Explication : À l'extérieur d'un puits infini, le potentiel est infini et la fonction d'onde est nulle. Par continuité, la fonction d'onde doit également s'annuler aux frontières du puits, soit en x = 0 et x = L.

Question 2

Comment s'exprime l'énergie propre En pour une particule dans un puits carré infini unidimensionnel de largeur L ?

  1. En = n²π²ℏ² / (2mL²)
  2. En = nℏω (n + 3/2)
  3. En = ℏ²k² / (2m)
  4. En = -V0 + α²

Réponse correcte : En = n²π²ℏ² / (2mL²)

Explication : En utilisant la relation kL = nπ et k = sqrt(2mE)/ℏ, on isole l'énergie pour obtenir l'expression quantifiée en fonction de l'entier positif n.

Question 3

Quelle méthode est utilisée pour résoudre l'équation radiale de l'oscillateur harmonique tridimensionnel dans le document ?

  1. La méthode des perturbations stationnaires.
  2. La méthode variationnelle.
  3. Le développement en série entière autour du point singulier régulier r = 0 (méthode de Frobenius).
  4. La transformation de Fourier rapide.

Réponse correcte : Le développement en série entière autour du point singulier régulier r = 0 (méthode de Frobenius).

Explication : Après avoir extrait le comportement asymptotique de la fonction d'onde pour r tendant vers l'infini, la solution est exprimée sous forme d'un produit avec une série entière commençant par r^s pour déterminer les coefficients ai.





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