Examens corriges

Corrigé de l'examen final de topologie générale L3 Mathématiques

Ce document correspond au corrigé rédigé de l'examen final de topologie générale destiné aux étudiants en troisième année de licence de mathématiques (L3) à l'Université de Rennes 1 pour l'année universitaire 2016-2017. L'épreuve d'une durée de deux heures, qui s'est déroulée le 16 décembre 2016, aborde un large éventail de notions fondamentales en topologie et en analyse.

Le sujet s'articule autour de questions de cours portant sur des critères de compacité dans divers cadres, la définition d'espaces métriques complets et d'espaces de Banach. Il se poursuit par six exercices indépendants explorant les topologies sur des ensembles finis, les propriétés de densité et d'intérieur, les espaces vectoriels normés et les distances, les équations différentielles et normes, l'exhaustivité d'espaces métriques particuliers ainsi que la topologie produit et les applications continues.

Dans la première partie, le document évalue les connaissances théoriques fondamentales avec des théorèmes classiques tels que Borel-Lebesgue, Bolzano-Weierstrass et le théorème de Riesz. Les exercices permettent ensuite d'étudier en détail des cas pratiques et des démonstrations rigoureuses, par exemple l'analyse de la distance à un sous-espace vectoriel fermé, la comparaison et l'équivalence de normes sur des espaces de fonctions de classe C2, ou encore la complétude d'espaces métriques logarithmiques.

Ce corrigé détaillé est un support de travail idéal pour les étudiants préparant des examens similaires en topologie générale. Il permet de revoir la rédaction rigoureuse des démonstrations mathématiques et de comprendre les méthodes de résolution adaptées à chaque type d'exercice, qu'il s'agisse de topologie générale, d'espaces vectoriels normés ou de convergence de suites.

Questions fréquentes

À quel niveau d'études ce document s'adresse-t-il ?

Ce document est conçu pour des étudiants en troisième année de licence de mathématiques (L3) suivant un enseignement de topologie générale.

Quelle est l'origine académique de ce sujet d'examen ?

Il provient de l'Université de Rennes 1 pour l'année universitaire 2016-2017, plus précisément pour la session d'examen du 16 décembre 2016.

Quels grands thèmes du cours de topologie sont abordés ?

Le sujet aborde la compacité, les espaces complets, les espaces de Banach, les sous-espaces vectoriels normés, la distance à un sous-espace fermé, les normes sur des espaces de fonctions et les propriétés topologiques comme la connexité et la séparation.

Testez vos connaissances

Question 1

Quel théorème caractérise la compacité d'un ensemble dans un R-espace vectoriel normé de dimension finie ?

  1. Le théorème de Borel-Lebesgue
  2. Le théorème de Bolzano-Weierstrass
  3. Le théorème de Riesz
  4. Le théorème des accroissements finis

Réponse correcte : Le théorème de Riesz

Explication : Le théorème de Riesz énonce que dans un R-espace vectoriel normé de dimension finie, un ensemble est compact si et seulement s'il est fermé et borné.

Question 2

Soit F un sous-espace vectoriel fermé d'un espace normé E avec F différent de E. Que vaut le supremum de la distance d(x, F) pour x dans la boule unité fermée B(0, 1] ?

  1. 0
  2. 1/2
  3. 1
  4. L'infini

Réponse correcte : 1

Explication : D'après l'exercice III, la distance d(x, F) est toujours inférieure ou égale à la norme de x, donc à 1 sur la boule unité, et l'exercice démontre que le supremum de ces distances sur la boule unité fermée est égal à 1.





Télécharger Corrigé de l'examen final de topologie générale L3 Mathématiques pdf