Corrigé de TD de Relativité : Champ électromagnétique et Effet Doppler

Présentation du document et contexte académique

Ce document propose le corrigé détaillé d'un travail dirigé consacré à la relativité, référencé sous le code LP353 pour l'année universitaire 2017-2018. Il émane de l'Université Pierre et Marie Curie ainsi que de l'École Normale Supérieure de Cachan, et s'inscrit au sein de la formation PHYTEM. Ce support pédagogique s'adresse aux étudiants en physique abordant l'électrodynamique relativiste et la transformation des champs et des grandeurs cinématiques.

Le document développe l'ensemble des calculs et des raisonnements physiques nécessaires à la compréhension de la physique des charges en mouvement, de la formulation covariante de l'électromagnétisme et de divers phénomènes ondulatoires et cinématiques vus sous l'angle de la relativité restreinte.

Étude du champ électromagnétique produit par un fil infini chargé

La majeure partie du document est dédiée à l'analyse approfondie d'un système classique en électromagnétisme relativiste : un fil infini chargé et parcouru par un courant. L'étude commence dans le référentiel propre du fil, noté R, où les charges sont en mouvement uniforme à la vitesse v. Les auteurs définissent l'expression du courant électrique à l'aide de la densité de courant et de la section du fil, puis effectuent une transition vers le référentiel R' lié aux charges en mouvement, où ces dernières apparaissent immobiles.

Les transformations de Lorentz sont posées explicitement selon l'axe de translation z. Le texte montre ensuite comment relier la densité de charge mesurée dans R à celle mesurée dans R' par deux méthodes distinctes : par l'étude géométrique du volume d'un cylindre de référence et par l'utilisation de l'invariance de la norme du quadrivecteur-courant.

Le calcul du champ électrique et du champ magnétique fait l'objet d'une démarche rigoureuse s'appuyant sur les symétries du problème, le théorème de Gauss et le théorème d'Ampère. Le document détaille ensuite la construction du tenseur du champ électromagnétique et explique comment les composantes des champs électrique et magnétique se transforment d'un référentiel à un autre à l'aide des matrices de Lorentz. Cette approche permet de mettre en évidence le caractère relatif du champ magnétique, perçu comme une manifestation directe de la relativité restreinte lorsque l'observateur se déplace par rapport aux charges.

Lagrangien du champ électromagnétique et équations de Maxwell

Le document aborde également la formulation lagrangienne du champ électromagnétique. À partir de la densité lagrangienne exprimée en fonction du tenseur du champ électromagnétique et du quadrivecteur potentiel, l'application des équations d'Euler-Lagrange permet de retrouver les relations aux sources des équations de Maxwell sous forme covariante. Les dérivées partielles successives par rapport au potentiel et à ses dérivées spatiales et temporelles sont explicitées pas à pas en utilisant le formalisme tensoriel et les symboles de Kronecker.

Effet Doppler, distribution angulaire et aberration de la lumière

La dernière partie du document traite de cinématique relativiste appliquée aux photons. En mobilisant le quadrivecteur énergie-impulsion d'un photon et les transformations de Lorentz, le corrigé retrouve la formule de l'effet Doppler relativiste. L'étude se poursuit avec l'analyse de la distribution angulaire de la lumière émise par une source en mouvement, souvent appelée effet phare, en étudiant la composition des vitesses pour un photon émis de manière isotrope dans le référentiel de la source.

Enfin, le document conclut par l'étude de l'aberration de la lumière, illustrant la modification apparente de la direction d'une étoile lointaine en raison de la vitesse orbitale de la Terre. Les calculs relient l'angle apparent mesuré par l'observateur terrestre aux composantes de la vitesse dans les différents référentiels galiléens.

Questions fréquentes

Quel est le niveau et l'établissement d'origine de ce document ?

Ce corrigé provient de l'Université Pierre et Marie Curie et de l'École Normale Supérieure de Cachan, dans le cadre de la formation PHYTEM pour l'année universitaire 2017-2018.

Quel est le fil conducteur de la première partie du document ?

L'étude analyse un fil infini chargé et parcouru par un courant, en examinant ses propriétés électromagnétiques à travers les changements de référentiel galiléen et l'utilisation du tenseur du champ électromagnétique.

Comment le champ magnétique est-il interprété dans ce TD ?

Le champ magnétique y est présenté comme une manifestation relativiste liée au choix du référentiel d'observation, apparaissant non nul dans un référentiel où les charges sont en mouvement.

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