Examens corriges

Corrigé de TD de Statistiques : Estimation et Efficacité MDI 220

Introduction au document

Ce document propose le corrigé détaillé de la troisième feuille de travaux dirigés de statistiques pour l'année universitaire 2019/2020. Il s'inscrit dans le cours référencé MDI 220 et se concentre sur l'étude approfondie des estimateurs, la notion de biais, le calcul du risque quadratique, ainsi que l'efficacité statistique à travers la borne de Cramér-Rao.

Présentation des exercices et des thèmes abordés

Le contenu est structuré autour de plusieurs exercices pratiques qui permettent d'appliquer les définitions fondamentales de l'inférence statistique sur des lois de probabilité classiques.

Le premier exercice s'intéresse à un échantillon suivant une loi de Poisson. Il étudie un estimateur empirique de la moyenne et analyse son caractère sans biais. La correction aborde également l'estimation d'une fonction non linéaire du paramètre, mettant en évidence la présence d'un biais par l'application d'une inégalité de convexité, avant de proposer un estimateur non biaisé alternatif basé sur une fonction indicatrice. La question de l'efficacité de ces estimateurs est ensuite traitée via le calcul de l'information de Fisher.

Le deuxième exercice introduit un modèle de paramètre de translation dont le support dépend du paramètre inconnu, ce qui illustre un cas de modèle non régulier. L'étude compare les propriétés de deux estimateurs distincts, l'un basé sur la moyenne empirique modifiée et l'autre sur la valeur minimale de l'échantillon. Le calcul du risque quadratique permet de comparer leurs performances respectives et de mettre en évidence la supériorité asymptotique ou globale de certains estimateurs biaisés mais plus stables.

Le troisième exercice se place dans le cadre d'un échantillon de variables de Bernoulli. Il démontre rigoureusement l'efficacité de la moyenne empirique en vérifiant qu'elle atteint la borne de Cramér-Rao. Enfin, il aborde la construction d'un estimateur sans biais pour la variance théorique d'une observation à partir d'un estimateur naturel initial biaisé.

Méthodes et notions clés

Ce document permet de travailler des techniques incontournables en statistique mathématique :

  • Le calcul d'espérance et de variance pour des échantillons indépendants et identiquement distribués.
  • La vérification du caractère sans biais d'un estimateur.
  • L'impact de la convexité d'une fonction sur l'espérance d'un estimateur non linéaire.
  • Le calcul analytique de l'information de Fisher pour une observation et pour un n-échantillon.
  • La comparaison d'estimateurs à l'aide du risque quadratique.
  • La correction du biais par multiplication par une constante adaptée.

Conseils pour l'utilisation de ce corrigé

Il est recommandé de chercher les exercices de manière autonome avant de consulter les solutions rédigées. Ce document est particulièrement utile pour comprendre la rédaction rigoureuse exigée lors de la résolution de problèmes d'estimation ponctuelle et pour s'entraîner aux calculs d'information de Fisher et de variance.

Questions fréquentes

À quel niveau d'études ce document s'adresse-t-il ?

Ce corrigé est destiné aux étudiants suivant le cours de statistiques MDI 220 pour l'année 2019/2020.

Quelles lois de probabilité sont étudiées dans les exercices ?

Les exercices font appel à la loi de Poisson, à un modèle de paramètre de translation à support borné et à la loi de Bernoulli.

Qu'est-ce qui est évalué concernant les estimateurs ?

Le document évalue principalement le biais, la variance, le risque quadratique, l'atteinte de la borne de Cramér-Rao et l'efficacité des estimateurs.

Testez vos connaissances

Question 1

Pour un échantillon suivant une loi de Poisson de paramètre lambda, quel est le biais de la moyenne empirique S(X) comme estimateur de lambda ?

  1. Le biais est égal à lambda
  2. Le biais est nul, l'estimateur est sans biais
  3. Le biais dépend de la taille de l'échantillon n
  4. Le biais est égal à l'inverse de lambda

Réponse correcte : Le biais est nul, l'estimateur est sans biais

Explication : Par linéarité de l'espérance, l'espérance de la moyenne empirique est égale à lambda, ce qui annule le biais.

Question 2

Dans le modèle de Bernoulli de paramètre theta, quelle est l'information de Fisher pour une seule observation I1(theta) ?

  1. theta(1 - theta)
  2. n / (theta(1 - theta))
  3. 1 / (theta(1 - theta))
  4. 1 / theta

Réponse correcte : 1 / (theta(1 - theta))

Explication : Le calcul de l'espérance du carré de la dérivée du log-degré de vraisemblance pour une observation de Bernoulli mène à l'inverse du produit theta(1 - theta).

Question 3

Pourquoi l'estimateur naturel de la variance d'une loi de Bernoulli S(X) = Xbar(1 - Xbar) est-il biaisé ?

  1. Parce que la fonction de vraisemblance n'est pas dérivable
  2. Parce que son espérance mathématique est strictement inférieure à la variance théorique
  3. Parce que la variance empirique est toujours supérieure au paramètre
  4. Parce que l'échantillon n'est pas indépendant

Réponse correcte : Parce que son espérance mathématique est strictement inférieure à la variance théorique

Explication : Le calcul de l'espérance de S(X) montre qu'il est égal à (1 - 1/n) theta(1 - theta), ce qui est strictement inférieur à theta(1 - theta) pour n fini.





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