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Corrigé du baccalauréat de spécialité mathématiques - Centres étrangers 2021

Présentation du corrigé du baccalauréat de mathématiques

Ce document propose un corrigé détaillé d'une épreuve d'enseignement de spécialité mathématiques du baccalauréat, session du 9 juin 2021, destinée aux candidats libres des centres étrangers. Il couvre l'ensemble des exercices obligatoires ainsi qu'un choix d'exercices approfondis, offrant ainsi une vision complète des méthodes attendues pour résoudre les problèmes proposés lors de cette session d'examen.

Structure et contenu des exercices

Le sujet s'articule autour de plusieurs exercices indépendants notés sur cinq points chacun, permettant d'évaluer différentes compétences en analyse, probabilités, suites numériques, géométrie dans l'espace et équations différentielles. Chaque question fait l'objet d'une résolution rédigée pas à pas, accompagnée des justifications mathématiques nécessaires.

La première partie débute par un questionnaire à choix multiples (QCM) qui aborde des notions fondamentales telles que le calcul de dérivées secondes, le dénombrement avec les combinaisons, l'exploitation graphique d'une fonction dérivée, les probabilités conditionnelles à partir de données textuelles et l'étude du signe d'une dérivée à l'aide d'un tableau de variations.

Les exercices suivants approfondissent des thématiques variées :

  • Probabilités et lois de probabilité : Utilisation d'arbres pondérés, formule des probabilités totales, probabilités conditionnelles et application de la loi binomiale dans un contexte concret de recensement.
  • Suites numériques : Étude d'une suite arithmético-géométrique modélisant l'évolution du nombre de collaborateurs en télétravail, passage à une suite géométrique auxiliaire, recherche de seuils à l'aide de logarithmes népériens, et étude d'une suite définie par récurrence avec démonstration par récurrence et convergence monotone.
  • Analyse et équations différentielles : Étude de fonctions exponentielles, calcul de dérivées, résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre, détermination d'équations de tangentes et position relative de courbes.
  • Géométrie dans l'espace : Calculs de produits scalaires, repérage orthonormé, équations cartésiennes de plans, représentations paramétriques de droites orthogonales et calculs de volumes de tétraèdres ainsi que d'angles géométriques.

Méthodes et conseils pour l'utilisation de ce document

Ce corrigé constitue un support de travail adapté pour les étudiants qui souhaitent s'entraîner dans les conditions réelles des épreuves écrites du baccalauréat. Il est recommandé de chercher chaque exercice par écrit avant de consulter la solution proposée. L'analyse des étapes de calcul permet de repérer les erreurs fréquentes et d'assimiler la rigueur de rédaction exigée pour les copies d'examen, notamment dans la justification des limites, des théorèmes de convergence ou des calculs vectoriels.

Questions fréquentes

À quel niveau d'études ce sujet s'adresse-t-il ?

Ce document s'adresse aux élèves de terminale générale suivant l'enseignement de spécialité mathématiques, ainsi qu'aux candidats libres préparant l'examen.

Quels sont les grands thèmes abordés dans ce sujet ?

Le sujet couvre l'analyse de fonctions, les suites numériques, les probabilités et variables aléatoires, les équations différentielles et la géométrie dans l'espace.

Comment sont présentées les réponses dans ce document ?

Chaque question du QCM est justifiée par un calcul ou une propriété, et les exercices développés présentent des démonstractions rédigées de manière formelle avec toutes les étapes intermédiaires.

Testez vos connaissances

Question 1

Soit la fonction définie sur R par f(x) = xe^{-2x}. Quelle est la dérivée seconde f''(x) de cette fonction ?

  1. (1 - 2x)e^{-2x}
  2. 4(x - 1)e^{-2x}
  3. 4e^{-2x}
  4. (x + 2)e^{-2x}

Réponse correcte : 4(x - 1)e^{-2x}

Explication : La dérivée première est f'(x) = e^{-2x} - 2xe^{-2x} = (1 - 2x)e^{-2x}. En dérivant à nouveau, on obtient f''(x) = -2e^{-2x} - 2(1 - 2x)e^{-2x} = (-4 + 4x)e^{-2x} = 4(x - 1)e^{-2x}.

Question 2

Un élève choisit trois spécialités parmi douze propositions. Quel est le nombre de combinaisons possibles ?

  1. 1 728
  2. 1 320
  3. 220
  4. 33

Réponse correcte : 220

Explication : Le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 12 se calcule par le coefficient binomial \binom{12}{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220.

Question 3

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,17. Quelle est l'espérance mathématique E(X) de cette variable ?

  1. 8,5
  2. 50
  3. 0,17
  4. 41,5

Réponse correcte : 8,5

Explication : Pour une loi binomiale de paramètres n et p, l'espérance est donnée par la formule E(X) = n \times p. Ici, E(X) = 50 \times 0,17 = 8,5.





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