Examens corriges

Corrigé du TD 9 de Fonctions Réelles : Limites et Continuité

Introduction au document

Ce document correspond au corrigé du neuvième TD de fonctions réelles, encadré par J. Gillibert dans le cadre de l'année universitaire 2013-2014 du cursus CPP. Il propose des résolutions détaillées et rédigées pour un ensemble d'exercices portant sur l'analyse mathématique, et plus particulièrement sur la notion de limite, la continuité des fonctions d'une variable réelle et l'étude de suites associées.

Présentation du contenu et des exercices

Le document s'artule autour de quatorze exercices de complexité variée, conçus pour approfondir la compréhension des concepts fondamentaux de l'analyse réelle. Les premiers exercices se concentrent sur la manipulation de la définition formelle des limites avec les quantificateurs universels et existentiels, permettant de démontrer rigoureusement des limites classiques telles que celle de fonctions polynômiales ou fractionnaires.

D'autres exercices abordent le calcul effectif de limites de fonctions en un point ou en l'infini, en mobilisant des techniques variées comme les encadrements, les majorations, le théorème des gendarmes, ou encore la composition de limites. L'étude de la continuité occupe également une place centrale, avec l'analyse de fonctions définies par morceaux, la recherche de conditions pour assurer la continuité sur l'ensemble des nombres réels, et l'étude des prolongements par continuité.

Enfin, le document traite de la continuité et de la discontinuité à travers des cas particuliers, tels que la fonction caractéristique de l'ensemble des nombres rationnels, ainsi que l'utilisation de suites extraites pour étudier l'existence ou la non-existence de limites en l'infini.

Notions et méthodes abordées

L'étude de ce corrigé permet de revoir plusieurs méthodes incontournables en analyse :

  • La traduction rigoureuse de la définition d'une limite à l'aide des epsilons et des deltas.
  • L'utilisation du critère séquentiel pour démontrer qu'une fonction n'admet pas de limite en l'infini.
  • L'analyse de la continuité en un point via les limites à gauche et à droite.
  • Les techniques de majoration et l'application du théorème d'encadrement pour évaluer des limites complexes.
  • Les conditions de prolongement par continuité d'une fonction en un point singulier.

Conseils d'utilisation pour les révisions

Ce type de document est particulièrement utile pour s'entraîner aux examens écrits et aux colles d'analyse. Il est recommandé de chercher chaque exercice par soi-même avant de consulter la solution rédigée. Pour les exercices portant sur les définitions formelles avec epsilon et delta, s'entraîner à refaire les étapes d'équivalence permet d'acquérir les automatismes indispensables en calcul supérieur.

Questions fréquentes

Quel est le niveau d'études visé par ce document ?

Ce corrigé s'adresse aux étudiants inscrits en première année de l'enseignement supérieur, dans le cadre du cursus préparatoire CPP de l'année 2013-2014.

Quels sont les principaux chapitres mathématiques concernés ?

Les exercices couvrent principalement les limites de fonctions, la continuité sur un intervalle ou en un point, le prolongement par continuité, ainsi que l'utilisation des suites pour l'étude des fonctions.

Qui est l'auteur de ce support pédagogique ?

Ce corrigé de travaux dirigés a été rédigé par J. Gillibert pour l'année universitaire 2013-2014.

Testez vos connaissances

Question 1

Dans l'exercice 1, quelle valeur de delta est choisie pour montrer que la limite de x² en 0 est égale à 0 ?

  1. delta = epsilon
  2. delta = racine carrée de epsilon
  3. delta = epsilon au carré
  4. delta = 1 / epsilon

Réponse correcte : delta = racine carrée de epsilon

Explication : Pour obtenir l'implication |x| <= delta implique |x²| <= epsilon, il suffit de choisir delta égal à la racine carrée de epsilon.

Question 2

D'après l'exercice 6, que peut-on dire de la fonction f définie par f(x) = x sin(x) en + l'infini ?

  1. Elle tend vers 0
  2. Elle tend vers + l'infini
  3. Elle n'a pas de limite en + l'infini
  4. Elle est constante

Réponse correcte : Elle n'a pas de limite en + l'infini

Explication : En utilisant deux suites bien choisies tendant vers + l'infini, l'une menant vers une suite tendant vers + l'infini et l'autre vers 0, le critère séquentiel montre l'absence de limite.

Question 3

Comment appelle-t-on la fonction delta définie sur R qui vaut 1 si x est rationnel et 0 si x est irrationnel (exercice 14) ?

  1. Une fonction continue partout
  2. Une fonction discontinue en tout point de R
  3. Une fonction périodique
  4. Une fonction strictement croissante

Réponse correcte : Une fonction discontinue en tout point de R

Explication : En raison de la densité des rationnels et des irrationnels dans R, cette fonction ne possède de limite en aucun point et est donc partout discontinue.





Télécharger Corrigé du TD 9 de Fonctions Réelles : Limites et Continuité pdf