Corrigé examen UPMC Séries de fonctions et intégrales 2017

Présentation du corrigé d'examen

Ce document présente le corrigé officiel de l'examen de mathématiques de la matière intitulée séries de fonctions et intégrales dépendant d'un paramètre, dispensée à l'UPMC au cours du semestre de printemps 2017. L'épreuve, d'une durée de deux heures, a eu lieu le 15 mai 2017. Le sujet aborde un large éventail de concepts mathématiques fondamentaux de niveau universitaire, regroupés en plusieurs exercices approfondis.

Le document offre non seulement les réponses finales aux différents problèmes posés, mais détaille également les étapes de raisonnement, les justifications rigoureuses et les théorèmes mobilisés, constituant ainsi un outil de travail précieux pour les étudiants préparant des évaluations similaires.

Structure et thèmes abordés dans les exercices

L'examen se compose de six exercices principaux, chacun ciblant des notions clés de l'analyse mathématique :

Exercice 1 : Étude de la convergence simple d'une suite de fonctions et analyse de la continuité pour déterminer la nature de la convergence uniforme.
Exercice 2 : Étude d'une série entière, calcul de son rayon de convergence, relation avec ses dérivées et primitives, et application du théorème d'Abel pour déterminer la somme d'une série numérique alternée.
Exercice 3 : Analyse d'une suite définie par récurrence, détermination du rayon de convergence d'une série entière associée et résolution d'une équation différentielle par le biais du développement en série entière.
Exercice 4 (Variantes A et B) : Utilisation de la transformation de Laplace pour résoudre des équations ou des systèmes différentiels linéaires, avec le calcul des transformées pour des fonctions usuelles et l'application des théorèmes de dérivation.
Exercice 5 : Étude approfondie d'une intégrale dépendant d'un paramètre, convergence uniforme sur des intervalles, continuité et dérivabilité de la fonction associée, puis résolution d'une équation différentielle ordinaire par intégration.
Exercice 6 : Analyse de Fourier d'une fonction périodique, calcul des coefficients de Fourier, application de l'égalité de Parseval pour évaluer la somme de séries numériques et question bonus d'approximation numérique.

Méthodes et outils mathématiques mobilisés

Les résolutions proposées dans le corrigé mettent en œuvre des techniques d'analyse avancées. Pour les séries de fonctions et les séries entières, le calcul de rayons de convergence s'appuie sur la règle du quotient ou la comparaison de suites. L'étude de la convergence uniforme fait intervenir des critères de continuité et les théorèmes généraux du cours.

Concernant les intégrales dépendant d'un paramètre, les démonstrations de convergence uniforme reposent sur des majorations par des fonctions intégrables de référence. Les théorèmes de dérivation sous le signe somme sont explicités pour obtenir des relations différentielles satisfaites par la fonction intégrale.

Enfin, l'utilisation de la transformation de Laplace permet de transformer des problèmes de Cauchy portant sur des équations ou des systèmes différentiels en équations algébriques plus simples à manipuler, avant d'effectuer un retour par décomposition en éléments simples.

Conseils pour l'utilisation de ce document de révision

Ce corrigé s'avère particulièrement utile pour s'entraîner aux examens universitaires en conditions réelles. Il est recommandé de chercher chaque exercice par soi-même avant de consulter la correction détaillée. L'analyse des erreurs de raisonnement et la compréhension des justifications formelles, notamment l'utilisation correcte des théorèmes d'interversion ou de convergence, permettront de progresser efficacement en analyse.

Questions fréquentes

À quel niveau d'études s'adresse ce document ?

Ce document s'adresse aux étudiants inscrits en enseignement supérieur scientifique, notamment en licence de mathématiques, suivant l'UE de séries de fonctions et intégrales dépendant d'un paramètre (code 2M261 à l'UPMC) au printemps 2017.

Quels sont les principaux théorèmes utilisés dans le sujet ?

Le sujet fait appel à de nombreux résultats fondamentaux, parmi lesquels le théorème d'Abel pour les séries entières, les théorèmes de convergence uniforme pour les intégrales à paramètre, la transformation de Laplace et ses propriétés de dérivation, ainsi que l'égalité de Parseval en théorie des séries de Fourier.

Pourquoi l'exercice 4 comporte-t-il deux variantes ?

L'exercice 4 est proposé en deux variantes (4A et 4B) destinées respectivement aux étudiants des amphis A et B, adaptant la résolution soit à une équation différentielle d'ordre deux, soit à un système différentiel linéaire du premier ordre.

Testez vos connaissances

Question 1

Quel est le rayon de convergence de la série entière associée à la fonction S(z) définie par la somme pour n supérieur ou égal à 2 de z^n / (n(n-1)) ?

0
1
Pi
Plus l'infini

Réponse correcte : 1

Explication : En appliquant le critère du rapport sur le terme général an = 1/(n(n-1)), le rapport an+1/an tend vers 1 lorsque n tend vers l'infini, ce qui donne un rayon de convergence égal à 1.

Question 2

Quelle est la transformée de Laplace de la fonction exponentielle t vers e^(kt) pour s > k ?

1 / (s - k)
1 / (s + k)
s / (s - k)
e^(kt) / s

Réponse correcte : 1 / (s - k)

Explication : Le calcul de l'intégrale de 0 à + l'infini de e^(kt) * e^(-st) dt se simplifie en une primitive de e^((k-s)t) / (k-s), ce qui donne 1/(s-k) pour s > k.

Question 3

Si une suite de fonctions (fn) converge simplement vers une fonction f sur un ensemble, et que f présente des discontinuités en certains points tandis que les fonctions fn sont continues, que peut-on affirmer quant à la convergence uniforme ?

Elle est nécessairement uniforme.
Elle ne peut pas être uniforme.
La convergence uniforme dépend uniquement du domaine.

La suite est nécessairement alternée.

Réponse correcte : Elle ne peut pas être uniforme.

Explication : La convergence uniforme d'une suite de fonctions continues vers une fonction limite garantit la continuité de la fonction limite. Si la limite n'est pas continue, la convergence ne peut en aucun cas être uniforme.

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