Examens corriges

Corrigé TD Formules de Taylor - Analyse 1 MIASHS

Introduction au document

Ce document propose le corrigé détaillé des exercices 1 à 8 du TD numéro 9 consacré aux formules de Taylor. Il s'inscrit dans le cadre de l'unité d'enseignement Analyse 1 (MI001AX) de la Licence MIASHS pour l'année universitaire 2014/2015. Ce support s'adresse aux étudiants souhaitant approfondir leur maîtrise des outils d'approximation locale des fonctions et des développements limités.

Structure et contenu des exercices

Le document débute par des rappels de cours fondamentaux concernant la formule de Taylor-Young, la formule de Taylor-Lagrange, la notion de partie principale de la série de Taylor, ainsi que la définition d'un développement limité à un ordre donné. Ces définitions posent le cadre rigoureux nécessaire à la résolution des exercices pratiques qui suivent.

Les exercices couvrent une grande variété de calculs et d'applications mathématiques :

  • L'application de la formule de Taylor-Young à des fonctions usuelles telles que l'exponentielle, le logarithme népérien et des fonctions polynômiales ou irrationnelles.
  • L'utilisation de la formule de Taylor-Lagrange pour encadrer des valeurs approchées ou démontrer des inégalités globales sur des fonctions, comme pour la fonction sinus.
  • Le calcul de développements limités par composition, division ou addition, notamment pour des fonctions composées comme le sinus d'un carré ou des expressions plus complexes faisant intervenir des fractions rationnelles et des exponentielles.
  • L'étude de la position relative d'une courbe par rapport à sa tangente en un point grâce aux termes non nuls des développements limités.
  • L'évaluation de limites indéterminées et l'étude de la dérivabilité de fonctions en certains points singuliers.

Méthodologie et travail personnel

Ce corrigé ne se contente pas de donner les résultats finaux : il explicite les étapes intermédiaires de calcul, telles que le calcul des dérivées successives, la manipulation des restes sous forme de Peano ou de Lagrange, et la composition des développements limités. Pour tirer pleinement profit de ce document, il est conseillé de chercher les exercices de manière autonome avant de consulter les solutions rédigées, puis de vérifier l'exactitude des manipulations algébriques et des substitutions de variables.

Informations pratiques sur le document

Matière : Analyse 1 (code MI001AX)

Cursus : Licence MIASHS

Année universitaire : 2014/2015

Type de document : Corrigé de travaux dirigés

Thème principal : Formules de Taylor et développements limités

Questions fréquentes

Quels types de formules de Taylor sont abordés dans ce document ?

Le document traite principalement de la formule de Taylor-Young et de la formule de Taylor-Lagrange, appliquées à l'ordre n ou à des ordres spécifiques comme l'ordre 4, 5 ou 6 selon les exercices.

Comment ce corrigé aide-t-il à étudier les développements limités ?

Il détaille les techniques de calcul pour obtenir des développements limités au voisinage de 0 ou d'autres points, en montrant comment composer des fonctions usuelles et gérer les restes négligeables.

Le document contient-il uniquement des résultats ou des explications de méthode ?

Il fournit des explications textuelles et méthodologiques, en particulier pour justifier la composition des développements limités ou l'interprétation géométrique de la position d'une courbe par rapport à sa tangente.

Testez vos connaissances

Question 1

Quelle est la formule de Taylor-Young pour la fonction exponentielle e^x en 0 à l'ordre 4 ?

  1. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^4 ε(x)
  2. e^x = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ε(x)
  3. e^x = x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^4 ε(x)
  4. e^x = 1 + x/2! + x^2/3! + x^3/4! + x^4 ε(x)

Réponse correcte : e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^4 ε(x)

Explication : Les coefficients f^(k)(0) pour l'exponentielle valent tous 1, et la formule intègre les factorielles au dénominateur ainsi qu'un reste de la forme x^4 ε(x).

Question 2

Dans le corrigé de l'exercice 2, quelle est la valeur de la limite lim (h→0) (ln(1+h) - h) / h^2 ?

  1. 0
  2. 1/2
  3. -1/2
    4. 1

Réponse correcte : 1/2

Explication : En utilisant le développement limité de ln(1+h) à l'ordre adéquat, on obtient l'expression (1/2 + h/3 - h^2/4 + ...), dont la limite lorsque h tend vers 0 est 1/2.

Question 3

Quelle méthode est utilisée pour étudier le comportement de la fonction k(x) = ln(1+h) / (1+h)^2 au voisinage de 1 ?

  1. Un calcul direct de dérivées sans formule
  2. Un encadrement par la méthode de Taylor-Lagrange
  3. Un produit de développements limités au voisinage de 0 après un changement de variable h
  4. Une intégration par parties

Réponse correcte : Un produit de développements limités au voisinage de 0 après un changement de variable h

Explication : Le corrigé pose x = 1 + h et effectue le produit des développements limités du logarithme et de la fraction rationnelle au voisinage de 0 pour obtenir le polynôme d'approximation.





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