Examens corriges

Cours de programmation linéaire et exercices corrigés

Introduction à la programmation linéaire

Ce polycopié de cours se penche sur la programmation linéaire, une technique mathématique essentielle pour résoudre des problématiques de gestion et d'optimisation. Rédigé par Jean-Philippe Javet pour la seconde option spécifique, ce document propose une approche structurée comprenant la modélisation mathématique des problèmes sous forme d'inéquations, ainsi que la recherche d'optimums à l'aide de différentes méthodes de résolution.

Les étudiants y trouveront un ensemble de chapitres progressifs qui abordent les concepts fondamentaux, depuis la définition d'une inéquation linéaire jusqu'à l'utilisation d'outils informatiques comme OpenOffice pour le calcul d'optimisation.

Structure du cours et grands chapitres

Le document s'articule autour de plusieurs parties principales permettant d'appréhender progressivement la matière. Dès les premiers chapitres, un exemple concret résolu par voie graphique permet de comprendre la démarche générale de maximisation de profit.

Le cours aborde ensuite en détail la résolution de systèmes d'inéquations à deux ou trois variables, la notion d'ensembles convexes, et la traduction de situations réelles en langage mathématique. La suite du document introduit les méthodes de résolution plus avancées, notamment la méthode algébrique par l'introduction de variables d'écart, puis la méthode du simplexe sous forme matricielle.

Méthodes d'optimisation étudiées

Le document met l'accent sur trois approches distinctes pour résoudre les problèmes de programmation linéaire :

  • La résolution graphique, adaptée aux problèmes comportant deux ou trois variables, permettant de visualiser le polygone ou le polyèdre des contraintes.
  • La méthode algébrique, qui transforme les inéquations en équations grâce aux variables d'écart pour analyser les programmes de base successifs.
  • La résolution matricielle par la méthode du simplexe, qui systématise les calculs sous forme de tableaux pour traiter des programmes plus complexes.

Exercices pratiques et applications

Chaque chapitre est complété par des exercices d'application directe permettant de manipuler les notions abordées. Les thèmes traités couvrent des situations variées issues de la production industrielle, de la gestion des ressources, de la nutrition ou de la répartition d'horaires.

Une annexe complète en fin de document fournit les éléments de solutions détaillés pour l'ensemble des exercices proposés, permettant ainsi un travail en autonomie et une vérification rigoureuse des résultats.

Questions fréquentes

À quel public ce cours de programmation linéaire s'adresse-t-il ?

Ce document est destiné aux élèves de seconde option spécifique et à toute personne souhaitant acquérir les bases de la programmation linéaire, de la modélisation à la résolution algorithmique.

Quelles sont les méthodes de résolution présentées dans le document ?

Le cours présente la méthode graphique pour les petits dimensions, la méthode algébrique avec des variables d'écart, ainsi que la méthode du simplexe à l'aide de matrices.

Le document contient-il des corrigés d'exercices ?

Oui, une annexe détaillée propose des éléments de solutions pour les exercices de chaque chapitre, ainsi que pour les travaux pratiques sur tableur.

Testez vos connaissances

Question 1

Comment appelle-t-on l'ensemble des solutions d'un système d'inéquations linéaires à 2 ou 3 variables ?

  1. Un cercle de contraintes
  2. Un polygone ou un polyèdre convexe
  3. Une fonction économique linéaire
  4. Un hyperplan ouvert

Réponse correcte : Un polygone ou un polyèdre convexe

Explication : L'intersection des demi-plans ou demi-espaces définis par les contraintes d'un système linéaire forme géométriquement un polygone (en dimension 2) ou un polyèdre (en dimension 3) convexe.

Question 2

Quel est le rôle d'une variable d'écart introduite dans une contrainte lors de la méthode algébrique ?

  1. Augmenter le bénéfice de la fonction économique
  2. Transformer une inéquation de type inférieur ou égal en une équation linéaire
  3. Remplacer une variable principale par une constante négative
  4. Modifier la pente de la fonction économique

Réponse correcte : Transformer une inéquation de type inférieur ou égal en une équation linéaire

Explication : L'ajout d'une variable d'écart non négative au premier membre d'une inéquation de type inférieur ou égal permet de la convertir en une équation linéaire tout en mesurant l'utilisation des ressources.

Question 3

Selon le théorème fondamental présenté dans le cours, où une fonction linéaire atteint-elle sa valeur maximale sur un polyèdre convexe borné ?

  1. Uniquement au centre du polyèdre
  2. En tout point de l'espace vectoriel
  3. En au moins un des sommets du polyèdre convexe
  4. Sur les axes de coordonnées uniquement

Réponse correcte : En au moins un des sommets du polyèdre convexe

Explication : La fonction économique linéaire atteint toujours sa valeur optimale (maximale ou minimale) en au moins un des points sommets du domaine des contraintes.





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