Cours de Statistiques inférentielles - Licence 2 S4 MASS

Introduction au cours de statistiques inférentielles

Ce document pédagogique propose un cours complet de statistiques inférentielles rédigé par Pierre Dusart pour les étudiants de Licence 2 (Semestre 4) de la filière Mathématiques Appliquées et Sociales (MASS). Daté de l'année universitaire 2018, il formalise les notions fondamentales permettant d'induire les caractéristiques d'une population à partir de l'observation d'échantillons aléatoires.

Structure et grands chapitres du document

Le polycopié est structuré en plusieurs chapitres thématiques progressifs, allant des lois de probabilité usuelles jusqu'aux tests d'hypothèses et non paramétriques. Chaque chapitre introduit les définitions théoriques, les propriétés mathématiques fondamentales ainsi que des exemples d'application concrèts.

1. Lois statistiques et lois usuelles

Le cours commence par rappeler la notion de fonction de répartition et de densité de probabilité pour une variable aléatoire continue, ainsi que les grandeurs caractéristiques comme l'espérance et la variance. Il détaille ensuite les principales lois de probabilité continues et discrètes indispensables en statistique : la loi normale (ou loi de Gauss), la loi du khi-deux (chi-deux), la loi de Student et la loi de Fisher-Snedecor. Des tableaux récapitulatifs permettent de lier ces lois à leurs fonctions de répartition et à leurs fonctions inverses utilisables sur tableur.

2. Convergences et théorèmes limites

Un chapitre important est consacré aux différents types de convergence : en probabilité, en moyenne quadratique et en loi. S'appuyant sur des inégalités utiles telles que l'inégalité de Markov et l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev, le document démontre la loi faible des grands nombres. Il aborde également la convergence des fonctions caractéristiques via le théorème de continuité de Lévy et expose en détail le théorème central limite, qui justifie l'omniprésence de la loi normale dans la modélisation statistique.

3. Échantillonnage et estimations

Le passage de la population à l'échantillon fait l'objet d'une étude rigoureuse. Les notions de moyenne empirique et de variance empirique (ainsi que sa version corrigée) sont définies et leurs propriétés d'espérance et de variance sont calculées. Le cours aborde ensuite l'estimation paramétrique ponctuelle, en étudiant la qualité des estimateurs (biais, convergence, consistance, risque quadratique) et la méthode du maximum de vraisemblance appliquée notamment à la loi de Poisson et à la loi normale.

4. Intervalles de confiance et tests d'hypothèses

L'ouvrage développe la construction des intervalles de confiance pour une proportion, une moyenne (avec variance connue ou inconnue) et une variance. Cette approche débouche naturellement sur la théorie des tests d'hypothèses : définition de l'hypothèse nulle et de l'hypothèse alternative, risques de première et de deuxième espèce (erreurs de type I et II), puissance d'un test et utilisation des p-values. Les tests d'indépendance (test du khi-deux), les tests de conformité en loi (adéquation, test de Kolmogorov-Smirnov, droite de Henry, test de Jarque-Bera) et les tests sur les pourcentages, moyennes et variances sont amplement détaillés.

5. Tests non paramétriques

Enfin, le cours s'achève sur les méthodes non paramétriques, adaptées lorsque les distributions sous-jacentes des données ne sont pas paramétrées ou ne suivent pas une loi normale. Le test de Mann-Whitney, le test de rangs signés de Wilcoxon et le test de corrélation de rang de Spearman sont présentés avec leurs tables critiques respectives en annexe.

Comment exploiter ce document pour vos révisions

Ce cours s'adresse en priorité aux étudiants en deuxième année de licence universitaire en mathématiques appliquées. Il offre un équilibre rigoureux entre les démonstrations mathématiques formelles et les applications pratiques indispensables pour réussir les examens de probabilités et de statistiques. Pour un apprentissage efficace, il est recommandé de travailler les démonstrations de cours, de refaire les exemples numériques proposés et de s'appuyer sur les tables statistiques fournies en fin de document pour les exercices d'application.

Questions fréquentes

À quel niveau d'études ce cours de statistiques est-il destiné ?

Ce document est conçu pour les étudiants en Licence 2, spécifiquement dans le parcours MASS (Mathématiques Appliquées et Sociales) au cours du semestre 4.

Quels sont les principaux types de tests abordés dans le polycopié ?

Le document couvre les tests d'indépendance du khi-deux, les tests de conformité en loi, les tests de normalité (droite de Henry, Jarque-Bera), les tests sur les pourcentages, les tests sur les moyennes et variances, ainsi que des tests non paramétriques comme Mann-Whitney, Wilcoxon et Spearman.

Trouve-t-on des tables statistiques à la fin du document ?

Oui, le cours intègre les tables de valeurs critiques pour la loi de Mann-Whitney, la loi de Wilcoxon et le coefficient de corrélation de rang de Spearman.

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