Cours de Théorie Algébrique des Nombres de Gaëtan Chenevier

Présentation du document

Ce document est un support de cours complet consacré à la théorie algébrique des nombres, rédigé par Gaëtan Chenevier. Il correspond à l'enseignement de Master 1 (troisième année) dispensé à l'École Polytechnique entre 2011 et 2019. Ce cours s'adresse aux étudiants en mathématiques ayant des notions de base sur les structures algébriques fondamentales comme les groupes, les anneaux et les corps.

Le document se compose de plusieurs chapitres détaillés, accompagnés d'une table des matières complète, d'annexes contenant des exercices corrigés et des problèmes de révision ou d'examens des années précédentes. Le fil conducteur choisi s'articule autour de la question de la caractérisation des nombres premiers représentés par certaines formes quadratiques, telles que x² + dy².

Contenu et structure des chapitres

Le cours aborde une progression structurée en neuf chapitres principaux, chacun traitant d'aspects fondamentaux de l'arithmétique et de l'algèbre:

Le premier chapitre introduit les carrés modulo un entier, le symbole de Legendre et démontre la loi de réciprocité quadratique à l'aide des sommes de Gauss. On y aborde également la structure du groupe des inversibles (Z/NZ)× et la notion d'entier algébrique.

Le deuxième chapitre développe la géométrie des nombres initiée par Minkowski, introduisant les notions de réseaux, de volumes et le lemme du corps convexe. Ces outils permettent notamment de démontrer des résultats classiques de représentation des entiers par des sommes de carrés.

Le troisième chapitre se consacre aux formes quadratiques binaires entières, suivant l'approche de Lagrange et de Gauss, avec une étude approfondie de l'équivalence des formes et des discriminants.

Le quatrième chapitre s'intéresse à l'arithmétique des anneaux généraux, et plus particulièrement des anneaux d'entiers quadratiques imaginaires, en explorant la hiérarchie entre anneaux euclidiens, principaux, factoriels et intégralement clos.

Les chapitres suivants étendent l'étude aux corps de nombres et à leurs anneaux d'entiers OK. On y développe les notions de trace, de norme, de discriminant, ainsi que la finitude du nombre des classes d'idéaux et la factorisation unique des idéaux dans les anneaux de Dedekind.

Enfin, les derniers chapitres ouvrent sur des aspects plus avancés, incluant la composition des formes de Gauss, la théorie des genres, et une introduction à la théorie analytique des nombres à travers les fonctions L de Dirichlet et la formule du nombre de classes.

Modalités d'utilisation pour l'étude et les révisions

Ce polycopié constitue une référence solide pour l'apprentissage de la théorie algébrique des nombres au niveau universitaire. La présence de nombreux exercices à la fin de chaque chapitre, dont les solutions ou indications sont regroupées en annexe, permet une vérification active des connaissances.

Les étudiants peuvent utiliser ce support pour approfondir la compréhension des démonstrations formelles, s'entraîner sur des problèmes de calculs de stathmes, de réseaux ou de discriminants, et se préparer efficacement aux examens universitaires grâce aux sujets d'annales corrigés fournis dans la dernière partie du document.

Questions fréquentes

Quel est le niveau requis pour aborder ce cours ?

Le cours ne nécessite pas de prérequis spécifiques en théorie des nombres, hormis la maîtrise des notions fondamentales d'algèbre générale (groupes, anneaux, corps). Quelques notions de mesure d'intégration sont utiles ponctuellement au second chapitre.

Qui est l'auteur de ce cours ?

Le document a été rédigé par Gaëtan Chenevier, chercheur et enseignant, sur la base de son cours enseigné à l'École Polytechnique entre 2011 et 2019.

Le document contient-il des exercices ?

Oui, chaque chapitre se termine par une section d'exercices variés, et une annexe dédiée regroupe des indications, solutions et corrigés, ainsi que des problèmes de révision et des sujets d'examens des années précédentes.

Télécharger Cours de Théorie Algébrique des Nombres de Gaëtan Chenevier pdf