Examens corriges

TD Analyse Numérique L2 MATH : Exercices Corrigés sur les Algorithmes

Introduction au document d'analyse numérique

Ce document pédagogique s'adresse aux étudiants en Licence L2 mention Mathématiques. Il propose des exercices pratiques accompagnés de leurs corrigés détaillés, centrés sur l'étude d'algorithmes de résolution d'équations non linéaires et l'analyse de leur convergence.

Structure et contenu des exercices

Le document est issu d'une séance de travaux dirigés intitulée TD Analyse Numérique Licence L2 MATH. Il aborde de manière méthodique des concepts clés de l'analyse numérique à travers des exercices progressifs.

L'exercice principal s'intéresse à un algorithme itératif destiné à résoudre l'équation f(x) = 0 pour une fonction régulière. Les différentes questions guident l'étudiant à travers plusieurs étapes mathématiques fondamentales :

  • L'application du théorème des accroissements finis pour relier l'erreur à l'étape k+1 à celle de l'étape k.
  • L'analyse de la convergence linéaire d'une suite et le calcul de sa limite.
  • La recherche d'un choix optimal pour le paramètre γ afin d'obtenir une convergence quadratique.
  • L'étude de suites définies par des expressions plus complexes impliquant des différences finies, notamment dans un second exercice amorcé en fin de document.

Concepts et notions abordés

Le texte mobilise des notions mathématiques rigoureuses que les étudiants de deuxième année universitaire doivent maîtriser. Parmi celles-ci, on retrouve l'utilisation des dérivées successives, la continuité des fonctions, le théorème des accroissements finis, ainsi que les définitions formelles des ordres de convergence (linéaire et super-linéaire ou quadratique).

Chaque question est suivie d'un corrigé rédigé, ce qui permet de comprendre la démarche logique menant de la formulation initiale de l'algorithme jusqu'aux conclusions sur son comportement asymptotique.

Méthode de travail recommandée

Pour tirer pleinement profit de ce support de cours et de TD, il est conseillé de chercher chaque question de manière autonome avant de consulter le corrigé détaillé. La vérification des hypothèses de continuité et l'utilisation correcte des intervalles ouverts ou fermés constituent des points de vigilance importants lors de la rédaction des démonstrations par récurrence.

Informations pratiques sur le document

Ce support se présente sous la forme de feuilles d'exercices corrigés rédigées en français. Il convient particulièrement aux révisions de partiels ou d'examens écrits en analyse numérique au niveau L2.

Questions fréquentes

Quel est le niveau universitaire visé par ce document ?

Le document est explicitement destiné aux étudiants inscrits en Licence L2 de Mathématiques.

Quels types de méthodes sont étudiés dans les exercices ?

Les exercices étudient des méthodes itératives de résolution d'équations, l'analyse de l'erreur, ainsi que les taux de convergence linéaire et quadratique.

Les solutions des exercices sont-elles fournies ?

Oui, chaque exercice est accompagné d'un corrigé détaillé expliquant les étapes de calcul et les théorèmes utilisés.

Testez vos connaissances

Question 1

Quelle est la condition initiale sur γ donnée dans l'exercice 1 pour assurer le comportement de l'algorithme ?

  1. 0 < γf'(x̄) < 2
  2. γf'(x̄) = 1
  3. -1 < γ < 1
  4. γ > 2

Réponse correcte : 0 < γf'(x̄) < 2

Explication : L'énoncé précise au début de l'exercice 1 que la constante γ est choisie telle que 0 < γf'(x̄) < 2.

Question 2

Quel type de convergence obtient-on lorsque le paramètre γ est choisi sous la forme γ = 1 / f'(x̄) ?

  1. Une convergence linéaire
  2. Une convergence quadratique
  3. Une divergence systématique
  4. Une convergence d'ordre 3

Réponse correcte : Une convergence quadratique

Explication : La question 5 de l'exercice 1 montre que ce choix de γ conduit à une convergence quadratique de l'algorithme.





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