Ce document académique propose un sujet d'examen entièrement corrigé consacré au calcul d'intégrales multiples. Rédigé par François de Marçay au sein du Département de Mathématiques d'Orsay de l'Université Paris-Saclay, ce support est conçu pour accompagner l'apprentissage des étudiants en mathématiques dans l'étude des intégrales doubles et triples. Le fichier regroupe l'énoncé des exercices ainsi qu'une correction détaillée, étape par étape, permettant de suivre rigoureusement les méthodes de calcul et les changements de variables.
Le document s'articule autour de trois exercices principaux qui couvrent différentes facettes de l'intégration dans le plan et dans l'espace. Le premier exercice propose le calcul d'une intégrale double sur un domaine défini par des inégalités simples, nécessitant une bonne maîtrise de l'intégration itérée. Le second exercice s'intéresse à un ensemble du plan euclidien défini par des couronnes ou disques évidés, introduisant un paramètre réel alpha. Cet exercice demande de passer en coordonnées polaires pour évaluer l'intégrale en fonction du paramètre, puis d'analyser le comportement de la limite lorsque la variable tend vers zéro. Enfin, le troisième exercice aborde des intégrales triples, d'abord sur un domaine pavé rectangulaire avec séparation des variables, puis sur un compact symétrique défini par des bornes dépendant d'une variable verticale, avec le calcul du volume et d'une intégrale pondérée par une coordonnée.
Plusieurs outils mathématiques fondamentaux sont mis en œuvre dans ce document. L'utilisation du théorème de Fubini pour permuter ou enchaîner les intégrations est centrale. Le passage aux coordonnées polaires constitue une méthode essentielle pour traiter les domaines circulaires du plan. Le traitement de la distinction de cas selon la valeur du paramètre alpha permet de manipuler aussi bien des primitives logarithmiques que des fonctions puissances. Enfin, le calcul de volumes et d'intégrales de fonctions continues sur des compacts de l'espace à trois dimensions permet d'illustrer la géométrie des intégrales triples par tranches horizontales.
Ce type de document corrigé constitue un support de travail direct pour s'entraîner aux examens universitaires. Les étudiants peuvent chercher à résoudre les questions par eux-mêmes avant de comparer leurs démarches avec les solutions rédigées. La présence de calculs intermédiaires explicites permet d'identifier les erreurs classiques de calcul de primitives ou de manipulation des bornes d'intégration, notamment lors de l'étude des limites et des paramètres réels.
Le document est un examen corrigé de mathématiques axé sur le calcul d'intégrales doubles et triples, incluant des changements en coordonnées polaires et l'étude de limites avec paramètres.
Ce sujet et sa correction ont été rédigés par François de Marçay pour le Département de Mathématiques d'Orsay de l'Université Paris-Saclay.
Le fichier contient trois exercices : le premier sur une intégrale double simple, le deuxième sur une intégrale double en coordonnées polaires avec un paramètre, et le troisième sur des intégrales triples et le calcul de volume dans l'espace tridimensionnel.
Oui, chaque exercice est assorti d'une correction rédigée qui détaille les étapes de calcul, les changements de variables et les passages à la limite.
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