Examens corriges

Examen Analyse Convexe et Optimisation - INSA Toulouse

Introduction à l'examen d'analyse convexe et d'optimisation

Ce document propose un sujet d'examen d'analyse convexe et d'optimisation accompagné de ses corrections détaillées. Évalué à l'INSA de Toulouse pour les étudiants de quatrième année de Génie Mathématique et Modélisation (4GMM), cet examen s'est déroulé le lundi 12 janvier 2015 avec une durée approximative de deux heures.

Présentation du contenu et des exercices

Le sujet se compose de trois exercices principaux abordant des notions fondamentales d'optimisation sous contraintes, de convexité et de géométrie des espaces euclidiens. L'utilisation du polycopié et des notes de cours était autorisée lors de cette épreuve.

L'exercice 1 se focalise sur la convexité de divers ensembles définis dans les espaces de dimension finie et sur le calcul explicite de leurs opérateurs de projection. Les étudiants y étudient des singletons, des disques et des cercles, en mettant en évidence l'unicité ou la non-unicité de la projection selon la convexité de l'ensemble.

L'exercice 2 propose une étude graphique de lignes de niveau pour une fonction de deux variables combinant des valeurs absolues et un terme quadratique, illustrée par un schéma explicite dans les corrections.

L'exercice 3, beaucoup plus étendu, s'intéresse à la gestion numérique d'une contrainte affine générale définie par une matrice et un vecteur. Divisé en trois parties, il guide l'étudiant depuis un cas simple en dimension deux jusqu'au cas générique. Il aborde la convexité et la fermeture de l'ensemble des solutions, la caractérisation du cône normal, les conditions d'optimalité via le calcul subdifférentiel, ainsi que la résolution numérique par des algorithmes de gradient projeté et de gradient projeté accéléré.

Apports pédagogiques et méthodes de travail

Ce sujet constitue un cas d'étude complet pour lier la théorie de l'analyse convexe aux méthodes algorithmiques d'optimisation. La présence des corrections rédigées pas à pas permet de comprendre le raisonnement mathématique rigoureux exigé en école d'ingénieurs, notamment pour le maniement des sous-différentiels, des projecteurs orthogonaux et des taux de convergence sous des hypothèses de lissage lipschitzien ou de forte convexité.

Questions fréquentes

Quel est le niveau académique de ce document ?

Ce document s'adresse aux élèves ingénieurs de quatrième année en filière Génie Mathématique et Modélisation à l'INSA de Toulouse.

Quels sont les principaux thèmes abordés dans le sujet ?

Les thèmes principaux incluent la convexité des ensembles, l'opérateur de projection orthogonale, les cônes normals, les contraintes affines, les conditions d'optimalité et les algorithmes de gradient projeté.

Les corrections sont-elles incluses dans le document ?

Oui, chaque exercice et chaque sous-question disposent d'une correction détaillée rédigée par l'enseignant.

Testez vos connaissances

Question 1

Dans l'exercice 1, quel ensemble parmi les suivants est non convexe ?

  1. Un singleton
  2. Un disque fermé
  3. Un cercle de rayon 1
  4. L'espace tout entier

Réponse correcte : Un cercle de rayon 1

Explication : Le cours rappelle qu'un cercle défini par une norme exacte égale à un n'est pas convexe, contrairement au disque fermé qui inclut l'intérieur.

Question 2

Quelle est la propriété principale de la matrice AA* lorsque les lignes de la matrice A sont linéairement indépendantes ?

  1. Elle est nulle
  2. Elle est de rang plein et inversible
  3. Elle est symétrique négative
  4. Elle est diagonale

Réponse correcte : Elle est de rang plein et inversible

Explication : Lorsque les lignes de A sont indépendantes, le produit AA* est de rang plein, ce qui garantit son inversibilité et permet d'exprimer explicitement la solution par projection.

Question 3

Quel algorithme est proposé en partie III pour résoudre le problème d'optimisation sous contrainte affine ?

  1. La méthode de Newton-Raphson pure
  2. Un algorithme de gradient projeté (ou sa variante accélérée)
  3. La méthode du simplexe
  4. Une descente de gradient non contrainte

Réponse correcte : Un algorithme de gradient projeté (ou sa variante accélérée)

Explication : Pour minimiser une fonction différentiable sur un ensemble convexe fermé défini par des contraintes, l'algorithme de gradient projeté utilise l'opérateur de projection pour rester dans l'ensemble admissible.





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