Examens corriges

Examen d'Optimisation Différentiable ENSAE avec Corrigé

Examen d'optimisation différentiable à l'ENSAE

Ce document académique propose un examen complet d'optimisation différentiable accompagné de ses corrigés détaillés, tel qu'il est enseigné à l'ENSAE. La durée initiale de l'épreuve est fixée à deux heures, et l'utilisation de documents ou de calculatrices n'y est pas autorisée. Le support s'articule autour de plusieurs exercices pratiques et théoriques permettant d'aborder des notions fondamentales de l'optimisation mathématique, de l'analyse convexe et de la recherche de points stationnaires.

Structure et contenu des exercices

Le sujet aborde quatre exercices distincts, chacun ciblant des aspects précis de l'optimisation différentiable appliquée :

  • Calcul de Hessienne : Le premier exercice s'intéresse à une fonction paramétrée définie à l'aide de la norme euclidienne, pour laquelle le calcul explicite du gradient et de la matrice Hessienne est exigé.
  • Problème d'optimisation avec contraintes d'inégalité : L'exercice suivant propose de minimiser une fonction quadratique sous contraintes d'inégalité affines. Le corrigé détaille l'utilisation de la dualité lagrangienne, l'obtention du problème dual, l'analyse de sa concavité via ses valeurs propres, ainsi que la vérification des conditions de Karush-Kuhn-Tucker (KKT).
  • Optimisation avec contrainte d'égalité et entropie : Ce troisième problème consiste à maximiser la somme d'entropies de lois de Bernoulli sous contrainte d'égalité linéaire. Le texte fournit une astuce de substitution par variable exponentielle pour résoudre le problème dual et s'appuie sur la convexité forte.
  • Problème de maximisation sous contrainte d'ordre : Le dernier exercice manipule des logarithmes et des paramètres réels pour analyser l'existence de solutions, appliquer les conditions de KKT selon plusieurs cas particuliers et déterminer l'existence de points-selle de la fonction de Lagrange.

Méthodes et outils mathématiques mobilisés

Les corrigés mis à disposition dans ce document permettent d'observer l'application rigoureuse de plusieurs outils mathématiques indispensables en optimisation :

  • L'étude de la convexité et de la concavité à l'aide des gradients et des Hessiennes.
  • La mise en place de la fonction de Lagrange et du problème dual associé.
  • L'utilisation des conditions de KKT (Karush-Kuhn-Tucker) pour valider l'optimalité des solutions candidates.
  • La qualification des contraintes et la gestion des conditions de complémentarité.

Utilité pour la révision

Ce sujet corrigé constitue un support de travail direct pour les étudiants souhaitant s'entraîner aux épreuves d'optimisation. La présence de corrections rédigées pas à pas permet de comprendre la méthodologie à adopter face à des problèmes sous contraintes, qu'il s'agisse d'égalités ou d'inégalités. Il est conseillé de chercher les exercices par soi-même avant de consulter les solutions détaillées pour progresser efficacement dans la résolution de problèmes différentiables.

Questions fréquentes

À quel établissement cet examen est-il rattaché ?

Ce document provient de l'ENSAE et porte sur le module d'optimisation différentiable.

Quels types de problèmes sont résolus à l'aide des conditions de KKT ?

Les conditions de KKT sont appliquées pour valider l'optimalité de points candidats dans des problèmes de minimisation et de maximisation sous contraintes affines, qu'elles soient d'égalité ou d'inégalité.

Quelle est la durée prévue pour cette épreuve ?

L'examen est conçu pour une durée de deux heures, sans l'aide de documents ni de calculatrices.

Testez vos connaissances

Question 1

Dans l'exercice 0.2, quelle est la nature de la fonction objectif f(x, y) = (x - 1)² + (y - 1)² ?

  1. Fortement concave et différentiable
  2. Fortement convexe et différentiable
  3. Linéaire par morceaux
  4. Non différentiable sur R²

Réponse correcte : Fortement convexe et différentiable

Explication : Le corrigé indique que la Hessienne de f est égale à 2I₂, ce qui démontre sa forte convexité et sa différentiabilité sur tout le plan.

Question 2

Comment se traduit la résolution du problème dual dans l'exercice 0.3 concernant l'entropie ?

  1. Par un changement de variable en u utilisant une exponentielle et le paramètre λ
  2. Par l'utilisation directe de matrices inverses sans substitution
  3. En transformant le problème en une inéquation linéaire simple
  4. En éliminant complètement la variable s

Réponse correcte : Par un changement de variable en u utilisant une exponentielle et le paramètre λ

Explication : L'énoncé suggère explicitement de poser u = exp(-λ)/(1 + exp(-λ)) pour résoudre le problème d'optimisation dual.

Question 3

Quelles conditions sont vérifiées pour prouver qu'un point x* est solution dans l'exercice 0.2 ?

  1. Le théorème des accroissements finis uniquement
  2. Les conditions KKT et la stricte convexité du problème
  3. L'annulation de la dérivée troisième
  4. La nullité absolue du gradient du problème dual

Réponse correcte : Les conditions KKT et la stricte convexité du problème

Explication : Le corrigé vérifie les conditions KKT (minimiseur de L, faisabilité primale et duale, conditions de complémentarité) et conclut grâce à la stricte convexité.





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