Examen de Séries Chronologiques : Sujet et Corrigé MAP-STA2
Présentation de l'examen de séries chronologiques
Ce document correspond à un sujet d'examen de séries chronologiques de niveau universitaire, rattaché à l'UE MAP-STA2 et daté du 15 janvier 2019. Il s'adresse aux étudiants en mathématiques appliquées ou en statistiques souhaitant s'entraîner sur des cas pratiques et théoriques complets. Le sujet est proposé par Yannig Goude et Ajmal Loodally.
Structure et contenu des exercices
Le document se compose de quatre exercices principaux qui couvrent l'ensemble des notions fondamentales de l'analyse des séries temporelles. Chaque exercice aborde un aspect particulier de la discipline, allant de la théorie des processus aléatoires jusqu'à la modélisation statistique avancée.
L'exercice 1 aborde les notions de base avec l'énoncé du théorème de Wold, la distinction entre processus stationnaires et non-stationnaires à travers divers exemples mathématiques, ainsi que les définitions et codes R associés aux fonctions d'autocorrélation (ACF) et d'autocorrélation partielle (PACF).
L'exercice 2 se focalise sur un processus spécifique de type moyenne mobile, en demandant de déterminer sa densité spectrale, sa fonction d'autocovariance, la variance de l'erreur de prédiction à horizon 1, ainsi que l'expression de l'innovation du processus sous forme de représentation linéaire.
L'exercice 3 propose des questions de cours ciblées sur les processus autorégressifs AR(p), leurs conditions de stationnarité et leur écriture en moyenne mobile infinie lorsque le paramètre vérifie certaines conditions d'inversibilité ou de stationnarité.
L'exercice 4 est une étude pratique de quatre séries temporelles à partir de graphiques de trajectoires, de fonctions d'autocorrélation et de périodogrammes. L'objectif est de proposer une démarche de modélisation adaptée pour chaque série. Une seconde partie de cet exercice analyse les résultats de l'estimation d'un modèle ARIMA sur une nouvelle série, incluant les coefficients, les erreurs standards, les p-values des tests de Student, l'analyse du critère AIC et les pistes de validation des résidus.
Intérêt pédagogique pour les révisions
Ce sujet corrigé constitue un outil de travail précieux pour appréhender la méthodologie d'analyse d'une série temporelle réelle. Les étudiants peuvent y observer comment passer de l'observation graphique (détection de tendance, de saisonnalité ou de stationnarité) au choix d'un modèle mathématique rigoureux, puis à son estimation et à sa validation statistique.
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