Examen et Corrigé d'Analyse 1 - Université de Batna 2

Présentation du document d'Analyse 1

Ce document académique propose un sujet d'examen final de mathématiques pour le module d'Analyse 01, accompagné de son corrigé type détaillé. Il s'adresse principalement aux étudiants inscrits en première année de licence Mathématiques et Informatique (MI) au sein du département Socle Commun de la Faculté des Mathématiques et d'Informatique de l'Université de Batna 2. L'année universitaire concernée par cette évaluation est 2020/2021.

L'ensemble du document est rédigé en français et couvre plusieurs notions fondamentales de l'analyse mathématique du premier semestre. Il constitue une ressource directe pour appréhender le niveau attendu lors des examens universitaires dans cette filière.

Structure et contenu de l'examen

Le sujet d'examen s'articule autour de trois exercices principaux notés sur un total de vingt points, touchant à des aspects variés de l'analyse réelle.

Exercice 1 : Questions de cours et démonstrations (6 points)
Cette première partie demande de démontrer des propriétés fondamentales. Les étudiants doivent prouver une inégalité algébrique liant le produit de deux nombres réels à la somme de leurs carrés. Une autre question porte sur les propriétés des bornes supérieures, spécifiquement l'implication entre l'inclusion de deux parties et leurs bornes supérieures respectives. Enfin, un nombre décimal périodique sous forme d'écriture illimitée doit être identifié comme un nombre rationnel.

Exercice 2 : Étude d'une suite réelle (7 points)
Cet exercice est consacré à l'étude d'une suite récurrente définie par un premier terme et une relation de récurrence faisant intervenir un carré. La première étape consiste à démontrer par récurrence qu'un encadrement simple est vérifié par tous les termes de la suite. La seconde étape demande d'étudier la monotonie de la suite, ce qui permet d'établir sa convergence.

Exercice 3 : Calculs de limites et étude d'une fonction (7 points)
La dernière partie se divise en deux volets. Le premier demande le calcul de limites de fonctions en un point et en l'infini, mettant en œuvre des expressions trigonométriques et logarithmiques. Le second propose l'étude complète de la continuité et de la dérivabilité en un point particulier d'une fonction définie par morceaux, combinant des fonctions trigonométriques, polynomiales et exponentielles.

Conseils pour l'utilisation de ce corrigé

Ce type de document offre l'opportunité de s'entraîner dans des conditions proches d'une évaluation réelle. Il est conseillé de chercher à résoudre chaque exercice par ses propres moyens avant de consulter le corrigé type fourni à la suite du sujet. Pour l'exercice sur les suites, la rédaction rigoureuse du raisonnement par récurrence mérite une attention particulière. Concernant l'étude de fonction, la distinction entre la continuité globale et l'examen de la dérivabilité à droite et à gauche en un point critique constitue un point méthodologique clé à maîtriser pour les examens d'Analyse 1.

Questions fréquentes

À quel niveau d'études ce sujet d'examen est-il destiné ?

Ce sujet est destiné aux étudiants en première année de premier cycle universitaire (1ère année MI - Mathématiques et Informatique).

Quelle est l'institution universitaire émettrice de ce document ?

Le document provient de l'Université de Batna 2, plus précisément de la Faculté des Mathématiques et d'Informatique, au sein du département Socle Commun.

Quels sont les grands thèmes abordés dans les exercices ?

Les exercices abordent les inégalités fondamentales dans ℝ, les propriétés des bornes supérieures, les nombres rationnels, l'étude des suites récurrentes (monotonie et convergence), le calcul de limites ainsi que la continuité et la dérivabilité d'une fonction définie par morceaux.

Testez vos connaissances

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