Exercices de Statistique Mathématique : L3
Introduction
Ce polycopié d'exercices est conçu pour les étudiants inscrits en troisième année de licence (L3) en mathématiques. Rédigé par Valère Bitseky-Penda, Marc Hoffmann et Adrian Iuga, ce document de l'année universitaire 2013-2014 propose une série de feuilles de Travaux Dirigés consacrées à la statistique mathématique.
Présentation générale du document
Le document rassemble neuf feuilles de travaux dirigés et couvre un large éventail de thématiques abordées dans les enseignements de statistique inférentielle et de modélisation. Chaque feuille est structurée autour de problèmes pratiques et théoriques permettant d'appliquer les notions de cours telles que l'estimation ponctuelle, l'estimation par intervalle de confiance, la théorie des tests statistiques et l'étude asymptotique des estimateurs.
Les grandes thématiques abordées
Le programme s'ouvre sur l'échantillonnage et les modèles statistiques, incluant des applications sur la région de confiance de Kolmogorov-Smirnov, le sondage et les données censurées avec des lois exponentielles. Les chapitres suivants approfondissent le risque quadratique, le biais et la variance des estimateurs, ainsi que la construction d'intervalles de confiance pour divers types de lois, notamment la loi uniforme et la loi exponentielle.
Une part importante du document est dédiée à la construction et aux propriétés des estimateurs, en particulier la méthode du maximum de vraisemblance et la méthode des moments pour des lois classiques comme la loi de Poisson, la loi binomiale ou la loi normale. Les étudiants y trouvent également des rappels de cours sur l'information de Fisher et l'inégalité de Cramér-Rao.
Enfin, la seconde moitié du document aborde la théorie des tests d'hypothèses. On y étudie le lemme de Neyman-Pearson, le calcul numérique de la puissance de test par la méthode de Monte-Carlo, le test du signe pour des échantillons indépendants, ainsi que des méthodes asymptotiques adaptées à l'analyse d'observations inhomogènes.
Modalités d'utilisation pour les révisions
Ce recueil s'adresse aux étudiants désireux de s'entraîner sur des cas concrets de modélisation mathématique. Il est recommandé de chercher les exercices de manière autonome avant d'analyser les méthodes de résolution présentées. La progressivité des feuilles permet d'aborder sereinement les notions avancées d'asymptotique et d'efficacité statistique.
Questions fréquentes
Quel est le niveau académique visé par ce document ?
Ce document est destiné aux étudiants en troisième année de licence de mathématiques (L3).
Quels auteurs ont rédigé ce support ?
Le polycopié a été écrit par Valère Bitseky-Penda, Marc Hoffmann et Adrian Iuga en janvier 2014.
Quels grands types de méthodes statistiques sont étudiés ?
Le document aborde l'échantillonnage, l'estimation paramétrique par maximum de vraisemblance et par moments, l'étude des risques et des biais, ainsi que les tests d'hypothèses et les tests asymptotiques.
Testez vos connaissances
Question 1
Quelle est la loi suivie par les temps de panne dans l'exercice de modélisation du contrôle de qualité (Feuille 1) ?
- Une loi uniforme
- Une loi exponentielle
- Une loi normale
- Une loi de Poisson
Réponse correcte : 2
Explication : L'énoncé précise que l'on suppose que les temps de panne suivent une loi exponentielle de paramètre lambda strictement positif.
Question 2
Dans le cadre de l'estimation pour la loi uniforme sur [0, b], que représente le paramètre b ?
- L'espérance commune des variables
- La variance des observations
- Le paramètre d'intérêt supérieur de la loi
- Le seuil de censure
Réponse correcte : 3
Explication : L'exercice 3.1 indique que l'on observe un échantillon de loi uniforme sur [0, b] où b est le paramètre d'intérêt.
Question 3
Quel lemme fondamental est abordé dans la feuille consacrée à l'introduction aux tests ?
- Le lemme de Neyman-Pearson
- Le théorème de Bayes
- Le théorème de Bartlett
- Le lemme de Slutsky
Réponse correcte : 1
Explication : La feuille 7 est explicitement consacrée au lemme de Neyman-Pearson appliqué à la loi exponentielle et à la loi discrète de Poisson.
