Exercices et corrections de statistiques mathématiques à l'ENSAE

Présentation du document de statistiques mathématiques

Ce document d'exercices et de corrections de statistiques mathématiques a été rédigé par Guillaume Lecué et daté du 31 août 2020 pour l'ENSAE. Il s'adresse aux étudiants qui étudient les statistiques avancées et la théorie des probabilités. L'ouvrage rassemble une série de chapitres thématiques structurés autour de rappels de cours, d'exercices pratiques et de corrections détaillées.

La structure générale du document permet d'aborder l'ensemble des notions fondamentales du domaine, depuis les fondements probabilistes jusqu'aux modèles de régression en passant par l'estimation et les tests statistiques. Chaque chapitre propose des exercices progressifs permettant d'appliquer directement les théorèmes et les propriétés mathématiques présentés.

Principaux thèmes abordés

Le contenu du document est divisé en plusieurs chapitres thématiques qui parcourent les aspects essentiels des statistiques mathématiques :

Les rappels de probabilités incluant les différents types de convergence (en loi, en probabilité, presque sûre, dans les espaces Lp), le théorème de la limite centrale, les lemmes de Borel-Cantelli, le lemme de Slutsky et les fonctions quantiles.
L'estimation et la théorie de l'estimation avec la vraisemblance, les estimateurs du maximum de vraisemblance (EMV), les intervalles de confiance et l'information de Fisher.
La théorie des tests statistiques, comprenant les tests de Neyman-Pearson, les tests de Wald et les applications sur des données réelles.
Les modèles de régression, l'analyse de la variance, la régression multiple, la régression Ridge et le théorème de Gauss-Markov.
Des sujets d'examens et de rattrapages complets accompagnés de leurs corrigés détaillés, couvrant les années 2015 à 2019.

Méthodes d'étude et d'utilisation

Ce document constitue un support complet pour approfondir la compréhension des concepts probabilistes et statistiques. L'approche adoptée dans les corrections privilégie la rigueur mathématique et l'explicitation des étapes de calcul. Pour tirer pleinement profit de ce contenu, il est conseillé de chercher à résoudre chaque exercice par soi-même avant de consulter la solution rédigée. L'analyse des démonstrations et des contre-exemples proposés dans la partie sur les convergences permet de bien saisir les subtilités entre les différents modes de convergence des variables aléatoires.

Questions fréquentes

À quel public s'adresse ce document ?

Le document est destiné aux étudiants de l'ENSAE ou d'un niveau équivalent en mathématiques et statistiques, notamment ceux qui suivent des cours de statistique mathématique.

Quels types d'exercices trouve-t-on dans les annales d'examens ?

Les sujets d'examens et de rattrapages inclus couvrent l'estimation par maximum de vraisemblance, le calcul d'information de Fisher, la construction de tests statistiques et l'étude asymptotique d'estimateurs.

Les corrections sont-elles détaillées ?

Oui, les corrigés fournissent les étapes intermédiaires de calcul, les applications des théorèmes du cours comme le théorème de la limite centrale ou la méthode Delta, ainsi que les justifications théoriques nécessaires.

Testez vos connaissances

Question 1

Quelle implication est correcte concernant les modes de convergence des variables aléatoires ?

La convergence en loi implique la convergence presque sûre.
La convergence presque sûre implique la convergence en probabilité.
La convergence en probabilité implique la convergence presque sûre.
La convergence en loi implique la convergence dans Lp.

Réponse correcte : La convergence presque sûre implique la convergence en probabilité.

Explication : Les lemmes et relations présentés dans le premier chapitre rappellent que la convergence presque sûre est un mode plus fort qui entraîne la convergence en probabilité, laquelle implique elle-même la convergence en loi.

Question 2

Que permet d'obtenir la méthode Delta dans l'étude asymptotique d'un estimateur ?

De calculer son biais exact pour tout échantillon de taille finie n.
De déterminer la loi limite d'une fonction différentiable d'une suite de variables asymptotiquement gaussiennes.
De prouver directement l'unicité de l'estimateur du maximum de vraisemblance.
De remplacer l'information de Fisher par la variance empirique sans condition.

Réponse correcte : De déterminer la loi limite d'une fonction différentiable d'une suite de variables asymptotiquement gaussiennes.

Explication : La méthode Delta permet d'établir la normalité asymptotique d'une transformation g d'une suite statistique lorsque la suite d'origine est elle-même asymptotiquement normale.

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