Exercices et problèmes de théorie des jeux et de la décision - ENPC

Introduction au document

Ce document d'exercices et problèmes est consacré à la théorie de la décision et à la théorie des jeux. Rédigé par Olivier Gossner dans le cadre des travaux dirigés dispensés à l'ENPC pour l'année universitaire 2003-2004, il propose une série de dix exercices abordant des situations stratégiques variées et des modèles mathématiques appliqués.

Présentation générale et thématiques

Le contenu s'adresse aux étudiants qui étudient les concepts fondamentaux de l'économie mathématique et de la théorie des jeux non coopératifs. Les thèmes abordés couvrent les jeux sous forme normale, les stratégies dominantes ou dominées, l'élimination successive de stratégies dominées, ainsi que les équilibres de Nash tant en stratégies pures qu'en stratégies mixtes.

Les exercices modélisent des situations concrètes et variées, telles que des mécanismes d'enchères, des duopoles et oligopoles de Cournot, des jeux de vote au sein d'une assemblée, des problèmes de répartition spatiale ou de voisinage dans une ville circulaire, des choix de vacances sur des plages, des jeux de matrice classiques, des inspections de salariés, et enfin des courses au brevet avec investissement.

Analyse détaillée des exercices proposés

La première partie du document introduit la modélisation d'une unité de bien mise aux enchères avec des acheteurs dotés de valuations individuelles, demandant de démontrer la dominance faible d'une offre sincère. S'ensuivent plusieurs déclinaisons du modèle de Cournot, à deux joueurs puis à trois joueurs, et enfin à un nombre quelconque $n$ de firmes, permettant d'étudier l'évolution des prix, des bénéfices individuels et totaux en fonction du nombre de concurrents.

D'autres problèmes s'intéressent aux jeux de vote majoritaire avec des préférences binaires ou multiples, ainsi qu'à un problème original de ville circulaire où les habitants subissent des désutilités liées au comportement de leur voisin de gauche, mobilisant des raisonnements par l'absurde et des notions d'optimalité au sens de Pareto.

Le document aborde également des aspects plus classiques comme la recherche d'équilibres en stratégies pures et mixtes sur des matrices de gains numériques, la modélisation d'un jeu d'inspection entre un patron et son employé, et l'analyse d'une course au brevet où deux entreprises investissent dans la recherche pour obtenir une subvention.

Intérêt pédagogique pour l'étude et la révision

Ce recueil constitue un support pertinent pour s'entraîner à formaliser des situations d'interaction stratégique. Chaque exercice pose un cadre mathématique précis qu'il faut traduire en ensembles de stratégies et en fonctions de paiement ou d'utilité avant d'appliquer les outils de résolution adaptés, qu'il s'agisse de dominance ou de recherche d'équilibres de Nash.

Les étudiants peuvent utiliser ce support pour tester leur compréhension des concepts de rationalité, d'anticipation et d'optimisation individuelle dans un contexte collectif.

Informations pratiques sur le document

• Matière : Théorie de la décision et théorie des jeux
• Établissement : ENPC (École Nationale des Ponts et Chaussées)
• Auteur : Olivier Gossner
• Année universitaire : 2003-2004
• Type de document : Feuille de travaux dirigés (exercices et problèmes)
• Langue : Français

Questions fréquentes

Quel est le niveau requis pour aborder ces exercices ?

Ce document s'adresse à des étudiants de niveau universitaire ou en école d'ingénieur ayant déjà des bases en mathématiques appliquées, en optimisation et en théorie des jeux non coopératifs.

Quels types de modèles de marché sont étudiés dans le texte ?

Le document propose plusieurs déclinaisons du modèle de Cournot, s'intéressant à des marchés oligopolistiques à deux, trois ou $n$ entreprises avec des fonctions de demande linéaires et des coûts unitaires constants.

Trouve-t-on les corrigés détaillés dans ce fichier ?

Non, le document se compose uniquement des énoncés des dix exercices et problèmes proposés lors de la séance de travaux dirigés du 16 décembre 2003.

Testez vos connaissances

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