Licence 3 Mathématiques : Analyse Numérique et Optimisation

Introduction au cours d'analyse numérique et optimisation

Ce document pédagogique est destiné aux étudiants préparant une licence de mathématiques au sein du Centre de Télé-Enseignement des Sciences (CTES) de l'Université d'Aix-Marseille. Conçu par l'enseignante responsable Raphaële Herbin, ce support s'adresse principalement aux inscrits de troisième année pour l'étape 2L3MAT dans le cadre de l'Unité d'Enseignement SMI6U01T. Le programme proposé aborde les outils fondamentaux de la résolution informatique de problèmes mathématiques issus de modélisations concrètes.

Organisation du semestre et contenu de l'envoi

Le contenu pédagogique s'articule autour de trois grands chapitres consacrés respectivement aux systèmes linéaires, aux systèmes non linéaires et à l'optimisation. L'envoi de la semaine 46 fournit le polycopié du premier chapitre couvrant les paragraphes 1 à 4, ainsi que les travaux pratiques 1 et 2 à réaliser sous Python. Le parcours de travail est planifié sur quatre semaines distinctes, associant l'étude théorique du cours, la résolution d'exercices corrigés et la réalisation optionnelle mais recommandée de séances de programmation.

La première semaine invite l'étudiant à se pencher sur les objectifs, les rappels d'algèbre linéaire et la discrétisation d'une équation différentielle, avec des exercices ciblés sur le théorème du rang et les matrices particulières. La deuxième semaine introduit les méthodes directes de résolution jusqu'à la décomposition de Choleski, complétée par la mise en pratique du premier TP. La troisième semaine approfondit la décomposition LU de matrices à paramètres et l'échelonnement. Enfin, la quatrième semaine aborde les normes et le conditionnement des matrices, menant au second TP en Python.

Rappels et bases mathématiques du premier chapitre

Le premier chapitre débute par des rappels rigoureux indispensables à la bonne compréhension des algorithmes numériques. Le produit matriciel est revisité sous l'angle des combinaisons linéaires de lignes et de colonnes, ce qui permet de formaliser la procédure d'élimination de Gauss par des multiplications successives par des matrices d'élimination ou de permutation. Le texte répertorie également les propriétés fondamentales des matrices inversibles et non inversibles en s'appuyant sur les travaux de Gilbert Strang. Sont ensuite abordés le calcul des déterminants, les valeurs propres, les vecteurs propres ainsi que la réduction des endomorphismes pour les matrices diagonalisables et les matrices symétriques réelles.

Applications pratiques et discrétisation

Pour illustrer la nécessité des systèmes linéaires en mathématiques appliquées, le document développe en détail la discrétisation par différences finies de l'équation de la chaleur unidimensionnelle et bidimensionnelle. L'approximation des dérivées secondes par des quotients différentiels conduit naturellement à des systèmes matriciels tridiagonaux ou tridiagonaux par blocs. La notion de matrice monotone, ou à inverse positive, est introduite pour analyser la stabilité et la convergence des schémas numériques. L'ensemble de ces notions prépare directement l'étudiant à l'étude approfondie des méthodes directes telles que l'algorithme de Gauss sans ou avec pivot partiel, la décomposition LU et la méthode de Choleski pour les matrices symétriques définies positives.

Méthodes de travail et utilisation du document

Pour tirer le meilleur parti de ce support de cours à distance, il est vivement conseillé d'aborder les exercices par soi-même avant de consulter les corrigés détaillés fournis en fin de document. Cette démarche permet de s'entraîner dans des conditions proches de celles des examens écrits. Les séances de programmation en Python offrent par ailleurs un complément indispensable pour observer le comportement numérique des algorithmes sur des tailles de systèmes croissantes. Les étudiants peuvent également contacter l'équipe enseignante par courrier électronique pour toute question relative au contenu théorique ou aux exercices proposés.

Questions fréquentes

À quel niveau d'études ce document est-il destiné ?

Ce polycopié est rédigé pour les étudiants en troisième année de licence de mathématiques (L3) en formule de téléenseignement au CTES de l'Université d'Aix-Marseille.

Quels sont les thèmes principaux abordés dans ce module ?

Le cours aborde l'analyse numérique à travers trois chapitres principaux : les systèmes linéaires, les systèmes non linéaires et l'optimisation.

Quel langage de programmation est utilisé pour les travaux pratiques ?

Les travaux pratiques conseillés tout au long du semestre utilisent le langage Python.

Comment s'articule le contrôle continu de cette UE ?

La note finale de l'UE prend en compte l'examen terminal et le contrôle continu, ce dernier étant évalué via deux devoirs à rendre au cours du semestre.

Testez vos connaissances

Question 1

Quelle est la forme générale de la matrice obtenue lors de la décomposition de Choleski d'une matrice symétrique définie positive A ?

A = LU avec L triangulaire supérieure et U triangulaire inférieure
A = LL^t avec L triangulaire inférieure à diagonale strictement positive
A = P^t AP où P est une matrice de permutation
A = D + L + U avec D diagonale

Réponse correcte : 2

Explication : La décomposition de Choleski factorise une matrice symétrique définie positive en le produit d'une matrice triangulaire inférieure L et de sa transposée L^t, les coefficients diagonaux de L étant strictement positifs.

Question 2

Quel est l'objectif principal de la méthode des différences finies présentée dans le chapitre 1 ?

Calculer exactement la dérivée d'une fonction analytique
Résoudre des équations algébriques non linéaires par dichotomie
Transformer un problème continu en un système linéaire à nombre fini d'inconnues
Trouver les valeurs propres d'une matrice quelconque

Réponse correcte : 3

Explication : La discrétisation par différences finies permet de remplacer un problème aux limites issu d'une équation différentielle par un système linéaire approché que l'on peut résoudre à l'aide d'un ordinateur.

Question 3

Que mesure principalement le conditionnement d'une matrice inversible dans le cadre de la résolution numérique ?

La vitesse d'exécution de l'algorithme de Gauss
La sensibilité de la solution du système linéaire face aux erreurs sur les données
Le nombre exact de zéros dans la matrice creuse
Le rayon spectral de la matrice