Modélisation et étude des files d'attente : cours et exercices corrigés

Introduction à la modélisation des files d'attente

Ce document universitaire propose une étude approfondie de la modélisation mathématique des files d'attente en univers aléatoire. Rédigé par Aimé Lachal dans le cadre des enseignements dispensés à l'INSA Lyon, il s'adresse aux étudiants en sciences et ingénierie souhaitant comprendre les processus stochastiques appliqués aux systèmes d'attente. Le cours aborde les notions théoriques fondamentales, telles que les variables aléatoires, les lois de probabilité usuelles (Poisson, exponentielle, Erlang) et les processus de naissance-mort, avant de formaliser le fonctionnement général des files d'attente.

Structure et contenu du cours

Le document commence par définir la constitution d'une file d'attente en analysant le flux des arrivées, les organes de service (en parallèle, en série ou en réseau), les disciplines de service (comme FCFS, FIFO, LCFS ou les règles de priorité) ainsi que la capacité du système. La modélisation des arrivées met en évidence l'utilisation du processus de Poisson pour décrire les arrivées aléatoires, tandis que le temps de service est caractérisé par une loi exponentielle dans le modèle markovien de référence.

Une part importante du document est consacrée à l'étude détaillée de la file M/M/1. Sont ainsi développés la modélisation de la longueur de la queue, le régime stationnaire, la loi de la longueur limite, les temps d'attente, le temps de séjour total, ainsi que le processus des départs. Le texte expose également des modèles plus complexes, notamment les files multiserveurs, les services erligniens et hyperexponentiels, ou encore les files en tandem avec ou sans blocage.

Applications pratiques et exercices corrigés

Pour ancrer les concepts théoriques dans la pratique, le document inclut plusieurs exercices entièrement corrigés. Ces applications numériques traitent de situations concrètes telles que les transferts de fichiers informatiques sur des lignes de transmission, le dimensionnement de cabines téléphoniques, la comparaison entre des files d'attente réparties ou centralisées, et l'analyse de systèmes en réseau. Une section propose également un TP complet sur tableur Excel pour simuler une file M/M/1, tracer les courbes d'arrivées et de départs, et analyser le comportement dynamique de la file au cours du temps.

Enfin, le document s'enrichit de notes biographiques sur les figures historiques majeures à l'origine de ces théories, en particulier Agner Krarup Erlang, Andrei Andreyevich Markov et Siméon Denis Poisson, permettant de replacer ces travaux mathématiques dans leur contexte historique.

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