Polycopié d'Analyse Numérique SMA-SMI Oujda
Présentation du document
Ce document est un polycopié de cours et d'exercices d'analyse numérique destiné aux étudiants de la section SMA-SMI (Semestre S2). Il a été préparé par Abdesslam Boutayeb et Mohamed Derouich dans le cadre des enseignements dispensés à la Faculté des Sciences d'Oujda, rattachée à l'Université Mohammed Premier au Maroc, pour l'année universitaire 2010-2011.
Le document rassemble les notions fondamentales de l'analyse numérique sous forme de chapitres structurés, accompagnés de rappels mathématiques, de définitions formelles, de théorèmes avec démonstrations ainsi que de nombreux exercices d'application.
Structure et chapitres principaux
Le polycopié aborde plusieurs grands thèmes de l'analyse numérique à travers sept chapitres principaux, précédés d'une section de rappels :
- Chapitre 1 : Rappels — Identités algébriques, trigonométrie, développements limités et formules d'intégration usuelles.
- Chapitre 2 : Approximations des solutions de l'équation f(x) = 0 — Étude des méthodes itératives, de la convergence, de la méthode de Newton, de la dichotomie et de la méthode de fausse position (Regula Falsi).
- Chapitre 3 : Introduction à l'interpolation — Interpolation de Lagrange, interpolants de Newton, différences divisées et analyse des erreurs d'interpolation.
- Chapitre 4 : Intégration numérique — Méthodes des rectangles, des trapèzes, formule de Simpson et erreurs associées.
- Chapitre 5 : Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires Ax = b — Méthodes de Gauss, factorisation LU, factorisation de Cholesky, factorisation de Householder et conditionnement des matrices.
- Chapitre 6 : Méthodes indirectes de résolution des systèmes linéaires Ax = b — Méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel, de relaxation et convergence des méthodes itératives.
- Chapitre 7 : Analyse numérique des équations différentielles ordinaires (e.d.o) — Problèmes de Cauchy, notions de stabilité, méthode d'Euler, méthodes de Taylor et méthodes de Runge-Kutta, complétées par des applications en modélisation épidémiologique et biologique.
Méthodes numériques et outils d'étude
Le document détaille les aspects théoriques et pratiques des algorithmes numériques. En matière de résolution non linéaire, il expose les conditions de convergence locale et globale des suites récurrentes. Pour l'interpolation, il fournit les bases de Lagrange et de Newton permettant d'approximer des fonctions continues. En calcul scientifique linéaire, il détaille le stockage et la manipulation des matrices, l'analyse des erreurs d'arrondi et le conditionnement matriciel.
Le cours accorde également une place importante à l'approximation des intégrales définies par des formules de quadrature, ainsi qu'à la résolution numérique des équations différentielles ordinaires, en abordant la consistance, la convergence et la stabilité des schémas à un pas et multi-pas.
Utilité pour les étudiants
Ce polycopié constitue un support de travail complet pour les étudiants inscrits en première année universitaire scientifique (filières mathématiques et informatiques). Il permet d'assimiler les fondements théoriques de l'analyse numérique tout en s'exerçant grâce aux listes d'exercices proposées à la fin de chaque chapitre. Les démonstrations mathématiques détaillées aident à comprendre la rigueur sous-jacente des méthodes numériques présentées.
Questions fréquentes
À quel niveau universitaire ce document est-il destiné ?
Ce polycopié s'adresse aux étudiants de la section SMA-SMI (Sciences Mathématiques et Informatique) en deuxième semestre (S2).
Quels sont les auteurs de ce support pédagogique ?
Le document a été rédigé par Abdesslam Boutayeb et Mohamed Derouich, enseignants-chercheurs au département de mathématiques et informatique de la Faculté des Sciences d'Oujda.
Quels types de méthodes de résolution de systèmes linéaires sont traités ?
Le document traite à la fois des méthodes directes (élimination de Gauss, factorisations LU, Cholesky, Householder) et des méthodes indirectes (Jacobi, Gauss-Seidel, relaxation).
Quelles applications pratiques trouve-t-on dans le dernier chapitre ?
Le dernier chapitre consacré aux équations différentielles propose des applications concrètes en modélisation épidémiologique (modèles SIS, SIR, SEIR) ainsi qu'en dynamique du glucose et de l'insuline.
