Stabilisation et approximation numérique d'une classe de problèmes inverses

Présentation de la thèse de doctorat

Ce document académique présente une thèse de doctorat intitulée Stabilisation et approximation numérique d'une classe de problèmes inverses en EDP, soutenue en 2016 à la Faculté des Sciences et Techniques (FAST) de l'Université des Sciences, des Techniques et des Technologies de Bamako (USTT-B) au Mali. L'auteur, Ousmane Samba Coulibaly, y développe des méthodes mathématiques et numériques avancées pour traiter des problèmes mal posés en analyse numérique.

Structure et grands chapitres du document

Le manuscrit de plus d'une centaine de pages s'articule autour de rappels théoriques fondamentaux et de contributions originales en mathématiques appliquées. Après une introduction posant la problématique des équations aux dérivées partielles et des problèmes inverses au sens d'Hadamard, le deuxième chapitre aborde les résultats préliminaires indispensables en théorie spectrale, notamment les opérateurs linéaires, les opérateurs non-bornés, la théorie de Riesz-Fredholm et la décomposition en valeurs singulières.

Le troisième chapitre se focalise sur la théorie et l'évaluation numérique des fonctions de matrices, en détaillant les méthodes de projection de sous-espaces de Krylov et la procédure d'orthogonalisation d'Arnoldi. Le cœur de la recherche est développé dans le quatrième chapitre, qui étudie l'identification de sources pour des problèmes paraboliques à travers des conditions aux limites de Dirichlet et de Neumann. L'auteur propose une analyse détaillée de la stabilisation par troncature spectrale et fournit des estimations d'erreur en dimension finie basées sur les polynômes de Tchebychev.

Méthodes numériques et tests

Le dernier chapitre est dédié aux tests numériques et à la discrétisation spatiale par différences finies de l'opérateur différentiel pour l'équation de la chaleur. L'utilisation de l'algorithme de Lanczos permet d'observer l'efficacité des approximations de Krylov par rapport aux solutions exactes, tant avec des données propres qu'avec des données perturbées par du bruit. Des programmes écrits en langage MATLAB sont également mis à disposition en annexe pour illustrer la mise en œuvre pratique des algorithmes présentés.

Informations générales sur le document

Ce travail de recherche en mathématiques est rédigé en langue française. Il s'adresse principalement aux étudiants de troisième cycle, chercheurs et enseignants-chercheurs spécialisés en analyse numérique, en équations aux dérivées partielles et en calcul scientifique.

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