Sujets d'oral ENS mathématiques MP : Annales 2018 et 2019

Présentation générale des sujets d'oral des ENS

Ce document rassemble une partie des exercices posés lors de l'oral spécifique de mathématiques pour le concours d'entrée des écoles normales supérieures (ENS) de Paris-Saclay et de Rennes, en filière MP, pour les sessions 2018 et 2019. Rédigés par Pierre-Antoine Guihéneuf, les énoncés sont accompagnés de commentaires détaillés et de corrigés complets. Comme le souligne le rapport de jury, une grande partie de ces exercices est inédite et s'inspire directement de problèmes issus de la recherche mathématique.

En raison du mode de fonctionnement de ces oraux, les exercices sont posés sur des interrogations successives à un petit nombre de candidats en parallèle. Cette approche garantit la fraîcheur des problèmes tout en maintenant un niveau d'exigence élevé. Les exercices ne sont pas conçus pour être résolus de bout en bout en autonomie complète dans le temps imparti de quarante-cinq minutes, mais constituent plutôt un support d'échange avec l'examinateur pour tester la capacité du candidat à mobiliser des indications et à explorer des notions avancées.

Organisation et thématiques abordées dans les annales

Le document s'articule autour de trente chapitres distincts, couvrant deux années d'oraux consécutives. Chaque section correspond à un thème mathématique précis et propose un énoncé, des indications contextuelles, des commentaires sur la difficulté ou le déroulement de l'épreuve, ainsi qu'une solution rédigée.

Les thèmes abordés traversent de nombreux domaines de la mathématique de classe préparatoire et du premier cycle universitaire :

Analyse réelle et complexe : fonctions presque périodiques, espaces de Hölder, équations différentielles, intégrales et convergence uniforme.
Algèbre linéaire et bilinéaire : matrices à diagonales dominantes, matrices bistochastiques, réduction des endomorphismes et matrices antisymétriques.
Topologie et géométrie : connexité, convexité, domaines fondamentaux, ensembles modèles et distance de Wasserstein.
Probabilités et statistiques : processus ponctuels, distances entre mesures et lois de probabilité.
Algèbre générale et arithmétique : entiers de Gauss, monoïdes de matrices, centralisateurs dans les groupes et diagonalisation dans les anneaux de matrices entières.

Exemples de problèmes notables

Plusieurs exercices illustrent l'originalité et la diversité des notions rencontrées au cours de ces épreuves. Par exemple, l'étude des domaines fondamentaux du plan et de leur convexité fait appel à des outils géométriques avancés et au théorème de Jordan. Dans le domaine de l'algèbre, l'examen du monoïde engendré par deux matrices introduit le lemme du ping-pong, un grand classique de la théorie géométrique des groupes.

D'autres problèmes s'intéressent à des objets plus spécifiques, tels que le calcul d'intégrales par le développement en série de l'exponentielle, l'étude de la différentiabilité de la projection sur un ensemble convexe, ou encore la caractérisation des matrices bistochastiques par le théorème de Birkhoff-Von Neumann. Les probabilités et les processus ponctuels trouvent également leur place avec l'analyse de la distance moyenne entre fonctions de répartition.

Utilisation recommandée pour la préparation

Ce recueil s'adresse en priorité aux étudiants en classe préparatoire scientifique préparant les concours aux grandes écoles, en particulier l'ENS. L'approche idéale consiste à chercher les exercices de manière approfondie en s'aidant des indications fournies avant de consulter les solutions rédigées. La lecture des commentaires d'examinateurs permet également de comprendre les pièges à éviter et d'appréhender la gestion du temps et du tableau lors d'une interrogation orale.

Questions fréquentes

À qui s'adressent ces sujets d'oraux ?

Ces sujets s'adressent principalement aux élèves de la filière MP (Mathématiques et Physique) se préparant au concours d'entrée des ENS Paris-Saclay et de Rennes.

Les exercices disposent-ils de corrigés complets ?

Oui, chaque exercice présenté dans le document est accompagné d'une solution détaillée rédigée par l'auteur, ainsi que de commentaires sur les difficultés rencontrées par les candidats lors des oraux.

Quelle est la source des exercices proposés ?

Les exercices sont en grande partie inédits, élaborés par les examinateurs et inspirés de problèmes de recherche ou de travaux universitaires récents en mathématiques.

Télécharger Sujets d'oral ENS mathématiques MP : Annales 2018 et 2019 pdf