TD d'Analyse Numérique Licence L2 MATH : Exercices Corrigés

Introduction au TD d'Analyse Numérique

Ce document est un TD d'analyse numérique destiné aux étudiants de Licence L2 en mathématiques. Il propose des exercices pratiques accompagnés de leurs corrigés détaillés, centrés sur la résolution approchée d'équations non linéaires et l'étude du comportement de suites itératives.

Présentation et structure du document

Le document se compose de deux exercices principaux abordant l'analyse de suites définies par des algorithmes itératifs. L'exercice 1 étudie un algorithme de type point fixe paramétré par une constante réelle, tandis que l'exercice 2 s'intéresse à une méthode d'ordre supérieur s'appuyant sur les différences finies pour approcher la solution d'une équation.

Thèmes et concepts abordés

Le contenu met en œuvre plusieurs notions fondamentales de l'analyse mathématique et numérique :

Le théorème des accroissements finis appliqué à des fonctions de classe C1 et C2.
L'étude de la convergence linéaire et quadratique de suites réelles.
L'utilisation du théorème du point fixe et l'analyse de la stabilité au voisinage d'une racine.
Le calcul de limites de quotients d'erreurs successives pour caractériser la vitesse de convergence.

Ce que l'étudiant peut travailler avec ce support

Ce document permet de s'entraîner rigoureusement sur la manipulation des inégalités de récurrence, l'estimation d'intervalles de convergence autour d'une racine exacte, et la démonstration de propriétés asymptotiques de suites. La présence de corrections rédigées pas à pas aide à comprendre la structure logique des preuves en analyse numérique.

Conseils d'utilisation pour les révisions

Il est recommandé de chercher chaque exercice par soi-même avant de consulter le corrigé détaillé. Pour l'exercice 1 comme pour l'exercice 2, l'utilisation des accroissements finis et la majoration des erreurs par récurrence constituent des méthodes types qu'il est utile de maîtriser pour les examens.