Examens corriges

Corrigé du baccalauréat ES Maths Métropole juin 2013

Présentation du document

Ce document propose le corrigé détaillé d'une épreuve de mathématiques du baccalauréat de la série ES, session de juin 2013, pour l'académie de Métropole. Il s'adresse aux élèves préparant leurs examens et souhaitant comprendre la rédaction attendue ainsi que les méthodes de résolution pour chaque exercice. Le sujet aborde plusieurs thématiques fondamentales du programme de mathématiques de terminale ES, réparties sur plusieurs exercices indépendants couvrant l'analyse, les probabilités, les suites numériques et l'algorithmique ou la spécialité.

Contenu et analyse des exercices

Le document débute par un premier exercice axé sur les probabilités. On y manipule des probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales ainsi qu'un arbre de probabilités avec des fabrications industrielles réparties entre différentes unités de production. Une seconde partie de cet exercice aborde une variable aléatoire suivant une loi normale ainsi qu'une loi binomiale pour étudier un prélèvement de composants.

Un autre exercice s'intéresse à l'étude d'une suite numérique définie par récurrence, permettant de modéliser l'évolution d'un capital financier sur plusieurs mois afin de déterminer l'apparition d'un découvert bancaire. Des questions sous forme de QCM corrigé évaluent également des notions de dérivation, de convexité, de recherche de primitives avec le logarithme népérien, ainsi que des propriétés de la loi normale.

L'analyse de fonctions exponentielles constitue une part importante du sujet, notamment avec l'étude théorique et graphique d'un bénéfice hebdomadaire modélisé par une fonction. Les élèves y pratiquent le calcul de dérivée, l'étude des variations, l'application du théorème des valeurs intermédiaires pour encadrer des solutions, ainsi que le calcul intégral appliqué à la dépense moyenne des ménages au moyen d'une fonction polynôme.

Enfin, le document propose une section dédiée aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité, mobilisant l'algorithme de Dijkstra pour déterminer le plus court chemin dans un graphe pondéré, ainsi que l'étude de graphes probabilistes et de matrices de transition.

Intérêt pédagogique pour les révisions

Ce corrigé constitue un support de travail précieux pour s'entraîner aux épreuves du baccalauréat. Chaque question est rédigée pas à pas, ce qui permet de repérer les pièges classiques et d'adopter la rigueur formelle exigée lors de l'examen. Les élèves peuvent ainsi vérifier leurs résultats, comprendre l'utilisation pertinente de la calculatrice pour les approximations et assimiler les justifications théoriques indispensables, comme la justification de l'existence de solutions par le théorème des valeurs intermédiaires.

Conseils d'utilisation

Il est recommandé de chercher chaque exercice de manière autonome avant de consulter les solutions proposées. Pour les parties nécessitant l'utilisation d'outils graphiques ou de calcul formel, l'élève peut comparer sa démarche avec les valeurs approchées indiquées dans le texte. L'analyse des erreurs commises lors de la rédaction permet de consolider les acquis sur les lois à densité, le calcul algébrique et l'interprétation des résultats dans un contexte économique ou concret.

Questions fréquentes

Quel est le niveau concerné par ce document ?

Ce document correspond au niveau de la classe de terminale de la série Économique et Sociale (ES) pour l'épreuve de mathématiques du baccalauréat.

Quels grands chapitres mathématiques sont abordés ?

Le sujet couvre principalement les probabilités conditionnelles, les lois normales et binomiales, les suites numériques, l'étude de fonctions (dérivation, convexité, exponentielle, logarithme, intégrales) et les graphes pour la spécialité.

Le corrigé détaille-t-il toutes les étapes des calculs ?

Oui, les étapes intermédiaires, les formules employées, les calculs de dérivées et les applications numériques sont explicités pour chaque exercice.

Testez vos connaissances

Question 1

Quelle est la valeur de la probabilité totale p(D) obtenue à la fin de la partie A de l'exercice 1 ?

  1. 1%
  2. 2%
  3. 5%
  4. 10%

Réponse correcte : 2%

Explication : D'après la formule des probabilités totales, p(D) = p(A ∩ D) + p(B ∩ D) = 0,0056 + 0,0144 = 0,02, soit 2%.

Question 2

Dans l'étude de la fonction B définie par B(x) = -5 + (4 - x)ex sur l'intervalle [0 ; 3,6], quelle est la valeur du bénéfice maximum approchée ?

  1. 13 000 euros
  2. 14 500 euros
  3. 15 100 euros
  4. 18 000 euros

Réponse correcte : 15 100 euros

Explication : La valeur maximale de B(x) est 15,1 (en milliers d'euros), atteinte pour x = 3, ce qui correspond à 15 100 euros.

Question 3

Quelle est la nature de la fonction f(x) = 2x + 1 - ln(x) concernant sa convexité sur l'intervalle ]0 ; +∞[ ?

  1. La fonction est concave car sa dérivée seconde est négative.
  2. La fonction est convexe car sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
  3. La fonction est affine.
  4. La fonction est constante.

Réponse correcte : La fonction est convexe car sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.

Explication : La dérivée seconde f''(x) = 1 / x² est strictement positive sur l'intervalle ]0 ; +∞[, ce qui démontre que la fonction f est convexe.





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