Examen corrigé d'Algèbre générale de base M1 Mathématiques
Examen de première session d'algèbre générale de base
Ce document présente le sujet et le corrigé détaillé d'une épreuve d'évaluation en algèbre générale de base. Destiné aux étudiants en première année de master de mathématiques (M1 Math ALGB), cet examen s'est déroulé le 17 décembre 2014 à l'Université Rennes 1.
L'épreuve est conçue pour évaluer la maîtrise de notions fondamentales en théorie des corps, en théorie des groupes de Galois, en algèbre linéaire sur les anneaux principaux et en arithmétique des anneaux commutatifs. Le barème indicatif totalise cinq points par exercice, répartis sur quatre grands thèmes distincts.
Structure et analyse des exercices
Le document se compose de quatre exercices indépendants, chacun entièrement corrigé pas à pas :
- Exercice 1 : Centré sur l'étude du polynôme $f = X^4 + 1 \in \mathbb{Q}[X]$. Les questions abordent l'irréductibilité du polynôme via le critère d'Eisenstein et un isomorphisme d'anneaux, la détermination du corps de décomposition $K = \mathbb{Q}(i, \sqrt{2})$, le calcul du groupe de Galois associé et l'identification de tous les corps intermédiaires avec la nature normale des extensions.
- Exercice 2 : Consacré aux modules sur un anneau principal $A$, avec un accent particulier sur les endomorphismes injectifs de modules libres de rang fini. Les questions démontrent que $M/N$ est un module de torsion, appliquent le théorème de mise sous forme normale de Smith sur $\mathbb{Z}$ pour relier le cardinal du quotient au déterminant, comparent des sous-modules issus de matrices spécifiques de taille $(2,2)$, et étendent le raisonnement au cas des anneaux de polynômes sur un corps fini.
- Exercice 3 : Traite des corps finis et de la théorie de Galois associée. À partir d'une clôture algébrique d'un corps fini à $p$ éléments, cet exercice démontre des propriétés sur les diviseurs irréductibles unitaires de $X^{p^n} - X$, l'unicité des sous-groupes d'ordre donné dans un groupe cyclique, la correspondance galoisienne pour les sous-corps, et la factorisation de polynômes.
- Exercice 4 : Étudie l'anneau $A = \mathbb{Z}[\alpha]$ engendré par le nombre d'or $\alpha$. Les questions explorent le polynôme minimal de $\alpha$, la construction d'un isomorphisme d'anneaux avec un quotient de polynômes, la primalité de certains entiers dans l'anneau $A$ (notamment 2 et 5), et la caractérisation des éléments inversibles par l'étude de la norme et du déterminant d'endomorphismes.
Modalités de travail et conseils d'utilisation
Ce sujet corrigé constitue un outil de travail rigoureux pour s'entraîner aux examens universitaires de mathématiques avancées. Il est conseillé de chercher chaque exercice de manière autonome avant de consulter la solution rédigée. Les corrections fournies ne se limitent pas à donner des réponses finales : elles explicitent les théorèmes mobilisés, tels que le théorème de Smith, les critères d'irréductibilité, ou les propriétés des extensions galoisiennes et des anneaux principaux.
Questions fréquentes
À quel niveau d'études s'adresse ce document ?
Ce document est destiné aux étudiants inscrits en première année de master de mathématiques (M1) pour l'UE d'algèbre générale de base.
Quels sont les principaux thèmes abordés dans le sujet ?
Les thèmes principaux incluent la théorie de Galois, les corps de décomposition, l'irréductibilité des polynômes, les modules sur les anneaux principaux, la forme normale de Smith, et l'arithmétique des anneaux comme $\mathbb{Z}[\alpha]$.
Le document contient-il les réponses aux questions ?
Oui, le fichier intègre à la fois le sujet de l'examen et les corrigés détaillés rédigés pour l'ensemble des quatre exercices.
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