Méthodes de Monte-Carlo : Cours et Exercices M1 IM

Introduction aux méthodes de Monte-Carlo

Ce document d'enseignement supérieur s'adresse aux étudiants en Master 1 d'informatique et de mathématiques. Rédigé par Sylvain Rubenthaler pour l'Université Nice Sophia Antipolis au titre de l'année universitaire 2018-2019, ce support de cours aborde les fondements théoriques et pratiques des simulations stochastiques et des méthodes de calcul numérique probabiliste.

Structure du cours et chapitres principaux

Le document est structuré en quatre grands chapitres accompagnés d'annexes et d'exercices pratiques corrigés ou commentés. Les prérequis nécessaires pour aborder ce contenu incluent des notions de probabilités de niveau licence ainsi qu'une familiarité de base avec le langage de programmation R.

Le premier chapitre introduit les notions fondamentales de la méthode, en détaillant l'approximation d'une espérance mathématique à l'aide de la loi des grands nombres et en analysant la vitesse de convergence via le théorème de la limite centrale. Des comparaisons directes sont également établies avec les méthodes d'intégration déterministes, comme les sommes de Riemann.

Le deuxième chapitre se consacre à la génération et à la simulation de variables aléatoires. Il expose plusieurs techniques classiques telles que l'inversion de la fonction de répartition, la simulation de lois exponentielles, de lois de Poisson, ainsi que l'algorithme de Box-Müller pour les variables gaussiennes. La méthode de rejet et les techniques de vérification par histogramme sous R y occupent une place centrale.

Le troisième chapitre aborde les techniques fondamentales de réduction de variance, indispensables pour améliorer l'efficacité des simulations de Monte-Carlo. Les étudiants y étudient l'échantillonnage préférentiel (importance sampling), l'utilisation de variables de contrôle, de variables antithétiques, ainsi que les méthodes de stratification et de conditionnement.

Enfin, le quatrième chapitre traite des méthodes de Monte-Carlo par chaînes de Markov (MCMC). Après des rappels sur le théorème ergodique et les propriétés des chaînes, le cours détaille l'algorithme de Hastings-Metropolis, l'algorithme de Metropolis simple, et applique ces notions à des modèles physiques et statistiques concrets comme le modèle d'Ising, l'analyse bayésienne d'images et des applications en cryptographie.

Utilisation du document pour les révisions

Ce polycopié constitue un support complet pour préparer des travaux dirigés et des examens en calcul stochastique. Chaque chapitre se conclut par une série d'exercices d'application directe ou de complexité supérieure, dont certains intègrent des scripts et des portions de code en langage R. L'étude de ces exemples permet de faire le lien entre la théorie mathématique et l'implémentation informatique des algorithmes de simulation.

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